[論文レビュー] Termination of lambda-calculus with the extra Call-By-Value rule known as assoc

Stéphane Lengrand|ArXiv.org|Jun 30, 2008

Mathematics, Computing, and Information Processing被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ラムダ計算のcall-by-value版に、ネストされたラムダ抽象の適用を再書き換えるassoc規則を拡張した系について、強い正規化を証明する。マーク付き還元項を導入し、精錬された還元系を用いることで、assoc還元とbeta還元の間の随伴関係を確立し、この追加規則が存在しても終了性が保証される。

ABSTRACT

In this paper we prove that any lambda-term that is strongly normalising for beta-reduction is also strongly normalising for beta,assoc-reduction. assoc is a call-by-value rule that has been used in works by Moggi, Joachimsky, Espirito Santo and others. The result has often been justified with incomplete or incorrect proofs. Here we give one in full details.

研究の動機と目的

• assoc規則を追加したラムダ計算について、強い正規化を確立すること。
• 標準的な終了性証明を阻害する、assoc規則とbeta還元の間の非随伴性という課題を解決すること。
• マーク付き還元項を導入し、制限付きbeta還元との随伴を可能にするシステムを提案すること。
• マーク付き還元項の下でのbeta還元を制限しても、終了性証明において一般性を失わないことを正当化すること。
• 強いシミュレーションと終了性の議論を支援する、文脈的閉包と還元系を形式化すること。

提案手法

• call-by-value評価をモデル化するため、$(\overline{\lambda}x.M)\ N$ の表記を用いてマーク付き還元項を導入する。
• 標準的およびマーク付き還元項を一様に扱う精錬された還元系 $\beta 12$ を定義する。
• 2つの部分還元を導入する：$\beta\kappa$（マーク付き引数を破棄しない還元）および $\beta\overline{\kappa}$（マーク付き引数を破棄する還元）。
• 随伴の議論を支援するため、書き換え系に弱い文脈的閉包 $\rightharpoonup_i$ を提案する。
• マーク付き還元項の下でassoc還元をシミュレートするため、$\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$ 規則を導入し、構造を保存する。
• 還元列に対する帰納法とケース解析を用いて、$\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$-還元が $\hookrightarrow$-還元に関して随伴可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 assoc規則をラムダ計算に追加しても、強い正規化が保たれるか？
• RQ2 assoc還元とbeta還元を組み合わせた際、標準的な随伴技術がなぜ失敗するのか？
• RQ3 マーク付き還元項の下でのbeta還元を制限しても、終了性証明において一般性を失わないか？
• RQ4 マーク付き還元項システムをどのように用いることで、call-by-valueの振る舞いをシミュレートしつつ、終了性を保てるか？
• RQ5 $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$ 規則を用いて、assoc還元を強い正規化を支持する形でシミュレートできるか？

主な発見

• assoc規則は、ラムダ計算において終了する。各応用は、非ネストされた $\lambda$-ペアの数を減らすからである。
• マーク付き還元項を用いる限り、$\stackrel{{\scriptstyle}}{{\longrightarrow}}_{\textsf{assoc}}\;$ 還元は、制限付き $\beta$-還元 $\hookrightarrow$ に関して随伴可能である。
• $\beta 12$ 還元系は、忘却射 $\phi$ を通じて標準的 $\beta$-還元を強くシミュレートする。
• $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$ 規則は、マーク付き還元項の下で還元の構造を保存するため、帰納的証明が可能になる。
• $\hookrightarrow$-還元系は、$\beta 12$-還元を強くシミュレートでき、終了性証明において一般性を失わない。
• 主な結果 $\textsf{SN}^{\beta} \subseteq \textsf{SN}^{\textsf{assoc}\beta}$ は、$\stackrel{{\scriptstyle}}{{\longrightarrow}}_{\textsf{assoc}}\;$ が $\hookrightarrow$ に関して随伴可能であることを証明することで得られ、拡張された系の強い正規化が保証される。