[論文レビュー] Termination of Original F5

Vasily Galkin|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、入力の正則性を仮定せず、アルゴリズムを変更せず、任意の同次多項式入力に対して、元のF5アルゴリズムの終了性を証明する。非終了実行が存在すると、シグニチャーセーフリダクタとF5基準に関連する矛盾が生じることを示し、元のF5アルゴリズムが同次入力に対して常に終了することを証明する。

ABSTRACT

The original F5 algorithm introduced by Faugère is formulated for any homogeneous polynomial set input. The correctness of output is shown for any input that terminates the algorithm, but the termination itself is proved only for the case of input being regular polynomial sequence. This article shows that algorithm correctly terminates for any homogeneous input without any reference to regularity. The scheme contains two steps: first it is shown that if the algorithm does not terminate it eventually generates two polynomials where first is a reductor for the second. But first step does not show that this reduction is permitted by criteria introduced in F5. The second step shows that if such pair exists then there exists another pair for which the reduction is permitted by all criteria. Existence of such pair leads to contradiction. Version v3 fixes the bibliography.

研究の動機と目的

• 入力の正則性に依存せず、アルゴリズムの変更なしに、元のF5アルゴリズムの終了性を証明すること。
• 既存の証明が正則列や変更済みF5バージョンに限定されているというギャップを埋めること。
• ファウジェール（2002）が記述した通りの正確なF5アルゴリズムを保ったまま、直接的な証明を提供すること。
• 非終了性が、シグニチャーセーフリダクタとF5基準に関連する矛盾を引き起こすことを示すこと。
• 実用的なコンピュータ代数システムにおけるF5の理論的基盤を強化し、一般条件下での正しさと終了性を証明すること。

提案手法

• F5における無限実行パスの解析のための構造的道具としてSペアチェーンを導入する。
• 二段階の背理的証明を用いる：第一に、非終了性は再帰的還元対の存在を示唆する。第二に、そのような対はすべてのF5基準を満たす有効なペアを示唆する。
• エーダーとペリー（2009）が提示した表現再書き換え技術をF5の中間状態に適用し、仮定を弱め、結論を強化する。
• シグニチャーセーフリダクタの性質とF5の三つの基準（F5、Rewritten、シグニチャーオーダー）に依存して矛盾を導出する。
• 多項式がシグニチャーセーフに還元可能であるならば、その還元はすべての基準を満たす必要があるが、非終了性下ではそれが成立しないことを利用する。
• 非終了実行が生じる場合、少なくとも一つの基準に違反する多項式ペアが生じることを示し、アルゴリズムの内部チェックと矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性を仮定せず、アルゴリズムを変更せず、元のF5アルゴリズムがすべての同次入力に対して終了することを証明できるか？
• RQ2 非終了性を引き起こすF5実行パスの構造的性質は何か？ そして、それらはどのように背理を導くために利用可能か？
• RQ3 新しいチェックやルールを導入せず、元のアルゴリズムの基準とシグニチャーオーダーのみを用いて、終了性を証明することは可能か？
• RQ4 Sペアチェーンと表現再書き換えは、非終了実行中のF5の中間状態を分析するためにどのように役立つか？
• RQ5 非終了実行から導かれる背理は、F5の還元基準の失敗と正式に結びつけることができるか？

主な発見

• 元のF5アルゴリズムは、入力が正則でない場合を含め、任意の同次多項式入力に対して終了する。
• 非終了性は、f′₁ が f のシグニチャーセーフリダクタであるが、F5基準またはRewritten基準に従わない還元が許可されないような多項式ペア f′₁ と f の存在を意味する。
• その背理は、IsReducibleの条件(a)〜(d)をすべて満たすべきであるが、実際には条件が破られるため生じる。これはアルゴリズムの動作と矛盾する。
• 背理の導出には、単項式順序とシグニチャーオーダーの等価性が不可欠である。
• 終了性証明は同次入力に限定され、Rewritten基準とシグニチャーセーフ還元の存在に依存する。
• この結果により、F5の理論的基盤が強化され、同次入力に対して、元の形のまま正しくかつ終了することが示された。