[論文レビュー] Ternary algebraic structures and their applications in physics

Richard Kerner|ArXiv.org|Nov 14, 2000

Advanced Topics in Algebra被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、三重代数的構造——三重積、立方関係、$d^3=0$微分計算——を理論物理学の基盤的道具として探求する。Nambu力学、一般化ゲージ理論、$Z_3$-次数付きコホモロジーへの応用を示し、これらが高次対称性や非結合的代数を自然に記述できることを示す。主な結果として、一貫性のある$d^3=0$外微分計算と、有限次元的モジュール構造を持つ新規の$Z_3$-次数付き微分代数が得られる。

ABSTRACT

We discuss certain ternary algebraic structures appearing more or less naturally in various domains of theoretical and mathematical physics. Far from being exhaustive, this article is intended above all to draw attention to these algebras, which may find more interesting applications in the years to come.

研究の動機と目的

• 標準的な二重構造を超えて、三重代数的作用および立方関係が理論物理学において果たす役割を調査すること。
• 三重作用が4次元ミンコフスキー空間、クォーク模型、一般化ゲージ理論において自然に生じることを示すこと。
• 一貫性のある$d^3=0$および有限次元的モジュール構造を持つ$Z_3$-次数付き微分計算を構築すること。
• このような代数が、量子力学および場の理論において物理的関連性を持つ非結合的・非可換系を記述できることを示すこと。
• $d^3=0$および三重交換関係を用いた、高次対称性および一般化コホモロジーの枠組みを提唱すること。

提案手法

• 二重代数を一般化する三重合成法則$m_3: V\otimes V\otimes V \to V$およびスカラー値三重積$m'_3: V\otimes V\otimes V \to \mathbb{C}$を導入する。
• $d^3 = 0$である$Z_3$-次数付き微分計算を構築し、三重交換関係により4次以上の形式が消えるようにする。
• 三重ポアソン括弧を$[f,H,G] = \det(\partial(f,G,H)/\partial(x,y,z))$として定義し、ハミルトニアンを3つに一般化する。
• $dx^i dx^j dx^k = \omega \, dx^j dx^k dx^i$（$\omega = e^{2\pi i/3}$）を課し、$Z_3$-次数と$d^3=0$との整合性を保証する。
• $\omega$-ライブニッツ則および関数と2階微分形式の非可換性を導出：$x^k d^2x^m - d^2x^m x^k = \omega (dx^k dx^m - \omega^2 dx^m dx^k)$。
• 滑らかな関数上の有限次元的左モジュールとして代数を実現し、$n$座標に対して次元$\mathcal{N} = (n^3 + 6n^2 + 5n)/3$が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重代数的構造は、理論物理学における標準的二重作用をどのように一般化できるか？
• RQ2 $d^2 = 0$ではなく$d^3 = 0$を満たす微分計算が物理的にどのような意味を持つのか？
• RQ3 三重交換関係$dx^i dx^j dx^k = \omega \, dx^j dx^k dx^i$は、高次の微分形式へ一貫して拡張可能か？
• RQ4 $Z_3$-次数付きコホモロジーは、標準的なde Rham複体を超えて微分形式の構造をどのように豊かにするか？
• RQ5 立方関係および非結合的代数は、クォーク閉じ込めや高スピン場のモデル化において果たす役割は何か？

主な発見

• 三重交換関係により4次以上のすべての形式が消えるため、一貫性のある$Z_3$-次数付き微分計算（$d^3 = 0$）が構築された。
• 微分形式のモジュール$\Omega(M)$の次元は$\mathcal{N} = (n^3 + 6n^2 + 5n)/3$であり、$n$座標に対して有限かつ明示的に計算可能である。
• 三重ポアソン括弧$[f,H,G] = \det(\partial(f,G,H)/\partial(x,y,z))$は、ハミルトニアンを3つに一般化し、ジャコビ類似恒等式を保つ。
• 三重交換関係$dx^i dx^j dx^k = \omega \, dx^j dx^k dx^i$により、4階微分形式を含む任意の単項式が消えるため、代数的整合性が保たれる。
• $\omega$-ライブニッツ則および関数と2階微分形式の非可換性から、非自明な$x^k d^2x^m - d^2x^m x^k$恒等式が得られ、$Z_3$-次数が保たれる。
• 標準的なde Rham理論よりも豊かな構造を持つ、一般化コホモロジー$\mathrm{Ker}(d)$、$\mathrm{Im}(d)$、$\mathrm{Ker}(d^2)$、$\mathrm{Im}(d^2)$を支持する。