[論文レビュー] Ternary Poisson algebra for the non degenerate three dimensional Kepler Coulomb potential

Y. Tanoudis, C. Daskaloyannis|ArXiv.org|Feb 2, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非退化三次元ケプラー・クーロンポテンシャルが、二次および四次積分を有する超可積分系として、三重のパラフェルミオン的類似のポアソン代数の下で閉じることを確立する。Kalnins-Kress-Miller の '5 から 6' 定理を用いて、第六の線形独立な二次積分の存在を証明し、五つの生成子をもつ閉じた二次三重ポアソン代数構造を導き、非退化超可積分系の代数的枠組みを一般化する。

ABSTRACT

In the three dimensional flat space any classical Hamiltonian, which has five functionally independent integrals of motion, including the Hamiltonian, is characterized as superintegrable. Kalnins, Kress and Miller have proved that, in the case of non degenerate potentials, i.e potentials depending linearly on four parameters, with quadratic symmetries, posses a sixth quadratic integral, which is linearly independent of the other integrals. The existence of this sixth integral imply that the integrals of motion form a ternary parafermionic-like quadratic Poisson algebra with five generators. The Kepler Coulomb potential that was introduced by Verrier and Evans is a special case of superintegrable system, having two independent integrals of motion of fourth order among the remaining quadratic ones. The corresponding Poisson algebra of integrals is a quadratic one, having the same special form, characteristic to the non degenerate case of systems with quadratic integrals.

研究の動機と目的

• 非退化三次元ケプラー・クーロンポテンシャルの運動積分のポアソン代数構造を特定すること。
• この系の六つの積分（五つの二次および一つの四次）が、非自明な代数的構造においてポアソン括弧の下で閉じるかどうかを調査すること。
• 非退化超可積分系に既知の '5 から 6' 定理を、逆二乗項を追加した一般化ケプラー・クーロンポテンシャルのケースに拡張すること。
• 得られた代数を、二次積分を有する他の非退化系と類似する三重のパラフェルミオン的類似ポアソン代数として分類すること。

提案手法

• Kalnins-Kress-Miller の '5 から 6' 定理を応用し、非退化 3D ケプラー・クーロン系における第六の線形独立な二次積分の存在を証明する。
• 五つの二次積分 A1, A2, B1, B2, H および第六の積分 F のすべての組み合わせについて、ネストド・ポアソン括弧 { {I_i, I_j}, I_k } を計算する。
• 三重ポアソン括弧 { {x_i, x_j}, x_k } が生成子の一次および二次結合に閉じることを示す明示的な代数的関係を導出する。
• 得られた代数が、他の非退化系で観察されたパラフェルミオン的類似のパターンに一致する構造定数を持つ二次三重ポアソン代数として特定する。
• ハミルトニアン H および五つの二次積分 A1, A2, B1, B2, F を生成子として用い、代数的閉包関係を定義する。
• 全積分（四次積分 F を含む）を含むポアソン括弧の記号的計算を通じて、閉包関係の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆二乗項を有する非退化三次元ケプラー・クーロンポテンシャルは、標準的な二次代数を超えて、非自明なポアソン代数の下で閉じるか？
• RQ2 四次積分を有するような高次の積分を有する系に、'5 から 6' 定理を適用できるか？
• RQ3 この系の積分のポアソン代数は、既知の代数的構造（例：三重のパラフェルミオン的類似代数）と同型か？
• RQ4 ネストド・ポアソン括弧 { {I_i, I_j}, I_k } はこの系においてどのように振る舞い、生成子の一次および二次結合に閉じるか？
• RQ5 この系に二次および四次積分が共存する場合、ポアソン代数の代数的構造は何か？

主な発見

• 非退化 3D ケプラー・クーロンポテンシャルは、既存の五つの二次積分とは線形独立な第六の二次積分を有しており、'5 から 6' 定理の妥当性を裏付ける。
• 六つの積分（五つの二次および一つの四次）のポアソン代数は、ネストド・ポアソン括弧の下で閉じており、閉じた二次三重ポアソン代数を形成する。
• 得られた代数は、三重括弧 { {x_i, x_j}, x_k } における特定の構造定数を持つ、三重のパラフェルミオン的類似ポアソン代数と同型である。
• この代数は、三つの部分代数からなる 'Π' 構造を示し、それぞれが二つのハミルトニアンを有する古典的超可積分系に対応する。
• 生成子のポアソン括弧は、ハミルトニアン H、積分 A1, A2, B1, B2、および F を含む明示的表現を返し、一次および二次結合への閉包を確認する。
• この系の代数的構造は、退化 3D ポテンシャルが高次の積分を有する非退化系と関連している可能性を示唆するが、これは未解決の方向である。