[論文レビュー] Ternary quasigroups in knot theory

Maciej Niebrzydowski|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、リーディマイスター移動に関して不変であるコycle不変量を定義するために、ホモロジーを用いて、古典的リンクおよび表面リンクの代数的不変量として三項準群を導入する。第1および第2リーディマイスター移動に対応する退化部分複体を構成し、正規化ホモロジーを定義することにより、コycleを用いた状態和不変量を確立し、この手法により、結び目の不変量を表面上のリンクおよびヨシカワ移動に関して不変な平坦リンクに拡張する。

ABSTRACT

We show that some ternary quasigroups appear naturally as invariants of classical links and links on surfaces. We also note how to obtain from them invariants of Yoshikawa moves. In our previous paper, we defined homology theory for algebras satisfying two axioms derived from the third Reidemeister move. In this paper, we show a degenerate subcomplex suitable for ternary quasigroups satisfying these axioms, and corresponding to the first Reidemeister move. For such ternary quasigroups with an additional condition that the primary operation equals to the second division operation, we also define another subcomplex, corresponding to the second flat Reidemeister move. Based on the normalized homology, we define cocycle invariants.

研究の動機と目的

• 古典的および表面リンクのための三項準群を不変量として確立すること。
• リーディマイスター移動に関して不変である三項準群のホモロジー理論を定義すること。
• 第1および第2リーディマイスター移動に対応する退化部分複体を構成すること。
• 平坦リンクおよび古典的リンクの正規化ホモロジーおよびコycle不変量を定義すること。
• 表面リンクの図式に関してヨシカワ移動に関して不変である不変量にこの不変量を拡張すること。

提案手法

• 向き付けられた表面上のリンク図式の交差の周囲の領域に代数的値を割り当てるために、三項準群の演算 T, L, M, R を用いること。
• 交差に割り当てられた三つ組 (a,b,c) を用いたチェーン複体を構成し、微分 ∂(a,b,c) = (b,c) - (a,abcT) - (abcT,c) + (a,b) を定義すること。
• 第1リーディマイスター移動に対応する退化部分複体を、形式 (a,b,abbR) または (bbaL,b,a) のサイクルを用いて定義すること。
• リーディマイスター移動に関して不変であるために、正規化ホモロジー H^NID(X) および H^NI(X) を導入すること。
• 状態和を用いたコycle不変量の定義：Φ(D) = Σ_C ∏_τ B(τ,C) で、B(τ,C) は各交差における色の符号付き三つ組におけるコycle値である。
• アーベル群 A に値をとる C1(X) のコホモロジーを用いて、指定されたリーディマイスター移動の族に関して不変性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三項準群は、コンパクトな向き付けられた表面上のリンクに対して、どのように不変量を定義できるか？
• RQ2 第1および第2リーディマイスター移動に関して不変であるために必要なホモロジー的条件は何か？
• RQ3 第1および第2リーディマイスター移動に対応する退化部分複体は、ホモロジーの不変性にどのように寄与するか？
• RQ4 正規化ホモロジーは、平坦リーディマイスター移動に関して不変量を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 三項準群のコホモロジーを用いて、コycle不変量をどのように定義し、ヨシカワ移動に関して不変にできるか？

主な発見

• KTQ彩色された向き付けられたリンク図式に関連するチェーン複体は、KTQホモロジーのサイクルであり、∂(c_D) = 0 が成り立つ。
• 平坦リンク図式の IKTQ ホモロジー類は、H^NID(X) を用いるとき、すべての平坦リーディマイスター移動に関して不変であり、H^NI(X) を用いるとき、第2および第3移動に関して不変である。
• 古典的リンクの場合、KTQ ホモロジー類は、H^N(X) を用いるとき、すべてのリーディマイスター移動に関して不変であり、逆符号の交差が相殺されることで第2移動に対しても不変である。
• 状態和を用いて定義されたコycle不変量は、使用するコホモロジーに応じて、対応するリーディマイスター移動または平坦リーディマイスター移動の族に関して不変である。
• 平坦リンクに対して T = M を用いることで、追加の対称性が得られ、特に axcT が対合であり、cabL = acbL、bcaR = bacR が成り立つ。
• 第3の平坦リーディマイスター移動は、ホモロジー類を保存する。なぜなら、その寄与の差が境界に等しいからである：∂2(a,b,c,d) = (b,c,d) - (a,abcT,(abcT)cdT) - (abcT,c,d) + (a,b,bcdT) + (ab(bcdT)T,bcdT,d) - (a,b,c)。