[論文レビュー] Ternary "Quaternions" and Ternary TU(3) algebra

Guennady Volkov|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ q_1^3 = q_2^3 = 1 $ を満たす二つの虚数単位 $ q_1 $ および $ q_2 $ を用いて、クaternionの三進一般化を導入する。これにより、非アーベルな $ TU(3) $ 代数と、Cartan行列の要素 $ B_{ii} = 3 $ を持つ新しいルート系が得られる。この構成は、二進のクリフォード代数を $ \mathbb{Z}_3 $-graded な三進代数へと拡張し、$ n=6 $ の場合に 729 次元の代数を生成する。また、$ SU(2) $ および $ SL(3,\mathbb{C}) $ の対称性が一般化される。

ABSTRACT

To construct ternary "quaternions" following Hamilton we must introduce two "imaginary "units, $q_1$ and $q_2$ with propeties $q_1^n=1$ and $q_2^m=1$. The general is enough difficult, and we consider the $m=n=3$. This case gives us the example of non-Abelian groupas was in Hamiltonian quaternion. The Hamiltonian quaternions help us to discover the $SU(2)=S^3$ group and also the group $L(2,C)$. In ternary case we found the generalization of U(3) which we called $TU(3)$ group and also we found the the SL(3,C) group. On the matrix language we are going from binary Pauly matrices to three dimensional nine matrices which are called by nonions. This way was initiated by algebraic classification of $CY_m$-spaces for all m=3,4,...where in reflexive Newton polyhedra we found the Berger graphs which gave in the corresponding Cartan matrices the longest simple roots $B_{ii}=3,4,..$ comparing with the case of binary algebras in which the Cartan diagonal element is equal 2, {\it i.e. } $A_{ii}=2$.

研究の動機と目的

• ハミルトンのクォータニオンを第3単位根を用いた三進代数的構造へ一般化すること。
• $ U(3) $ の一般化として非アーベル的 $ TU(3) $ 代数を構築し、新しいルート系と、$ B_{ii} = 3 $ を特徴とするCartン行列を有すること。
• $ \mathbb{Z}_3 $-graded な三進代数 $ TCl(V) $ に二進クリフォード代数を拡張し、基底要素 $ q_k^l $（$ l = 0,1,2 $）を用い、次元を $ 3^n $ として計算すること。
• この構造の幾何的および代数的意味、特に不変曲面と $ N $-準同型対称性を探索すること。
• 反射的ニュートン多面体とベルジャー図の間の関係を、Cartan行列における $ B_{ii} = 3 $ の出現と結びつけ、二進の $ A_{ii} = 2 $ とは対照的に検討すること。

提案手法

• 二つの虚数単位 $ q_1, q_2 $ を $ q_1^3 = q_2^3 = 1 $ を満たすように導入し、ハミルトンのクォータニオンを一般化する三進代数的枠組みを構築する。
• $ n \mod 3 $ に基づき、$ T(V)_0, T(V)_1, T(V)_2 $ に分解される $ \mathbb{Z}_3 $-graded なテンソル代数 $ T(V) $ を定義し、理想 $ J $ で商を取って $ TCl(V) $ を得る。
• $ S_3^+ $ の置換に関する対称和を用いて三進積を定義し、$ k=l=m $ の場合に限り $ \sum_{S_3^+} q_k q_l q_m = 6 \delta_{klm} $ が成り立つことを示す。
• $ TU(3) $ 代数を、対角成分が $ B_{ii} = 3 $ のルート系とCartン行列を有するものとして構成する。これは、二進の $ A_{ii} = 2 $ と対照的である。
• $ TCl(V) $ の次元を $ 3^n $ として計算し、$ n=4 $ の場合に明示的な分解が得られ、$ \dim TCl_0 = 1+16+10 $、$ \dim TCl_1 = 4+19+4 $、$ \dim TCl_2 = 1+16+1 $ となる。
• $ N $-準同型交換関係と $ \mathbb{Z}_3 $-graded 構造を用いて $ C_N $-クリフォード代数を導出し、二進の $ su(2) $ の部分代数を三進的状況へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトンのクォータニオン構成を、第3単位根を用いた非アーベル的三進代数へどのように一般化できるか？
• RQ2 $ TU(3) $ 代数のルート系とCartン行列の構造は何か？古典的リー代数とはどのように異なるか？
• RQ3 $ \mathbb{Z}_3 $-graded な三進クリフォード代数 $ TCl(V) $ の次元と階数付き分解は、与えられた $ n $ に対してどのように得られるか？
• RQ4 三進積の対称和はどのように振る舞い、いつゼロとなるか、非ゼロとなるか？
• RQ5 $ B_{ii} = 3 $ がCartン行列に現れる幾何的および代数的意味は、二進代数における $ A_{ii} = 2 $ と比べて何か？

主な発見

• 三進の $ TU(3) $ 代数は、Cartan行列の対角成分が $ B_{ii} = 3 $ であるルート系を有し、二進の $ A_{ii} = 2 $ の場合を一般化する。
• $ \mathbb{Z}_3 $-graded な三進クリフォード代数 $ TCl(V) $ の次元は $ 3^n $ であり、$ n=4 $ 時に明示的な分解が得られ、$ \dim TCl_0 = 27 $、$ \dim TCl_1 = 27 $、$ \dim TCl_2 = 27 $ となり、合計で 81 となる。
• $ n=6 $ 時、$ TCl(V) $ の全次元は $ 3^6 = 729 $ であり、$ TCl_0 $、$ TCl_1 $、$ TCl_2 $ はそれぞれ 243 個の成分を寄与する。
• 対称和 $ \sum_{S_3^+} q_k q_l q_m $ は、$ k=l=m $ でない限り消え、このとき $ 6 \delta_{klm} $ に等しくなる。これは、同一の添え字を持つ場合にのみ非自明な三進積が存在することを示している。
• $ C_N $-クリフォード代数は、$ N $-準同型交換関係と $ \mathbb{Z}_3 $-graded 構造を用いて定義され、二進の $ su(2) $ の部分代数を三進的状況へ一般化する。
• この構成により、反射的ニュートン多面体とベルジャー図が $ B_{ii} = 3 $ の出現と結びつき、新しい代数的構造の背後にあるより深い幾何的起源を示唆している。