[論文レビュー] Test Function Spaces for Geometric Finite Elements

Oliver Sander|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、幾何的有限要素（GFE）のためのテスト関数空間を導入し、最小化にとどまらない非線形多様体値問題における弱形式化および最適性条件の構築を可能にする。この手法は、局所的な多様体構造を用いてGFE関数の変種としてテスト関数を構築し、ヤコビ場の一般化を実現し、代数的および幾何的最適性条件の間の同等性を保証する。

ABSTRACT

We construct test function spaces for geometric finite elements. Geometric finite elements (GFE) are generalizations of Lagrangian finite elements to situations where the unknown function maps into a nonlinear space. Test functions for such spaces arise as variations of GFE functions wherever the GFE function space has a local manifold structure. For any given GFE function $u_h$, the test functions form a linear space that depends on $u_h$. They generalize Jacobi fields in the same way that the GFE interpolation functions generalize geodesic curves. Having test function spaces allows to extend the GFE method to boundary value problems that do not have a minimization formulation.

研究の動機と目的

• 最小化に基づく定式化にとどまらない幾何的有限要素（GFE）を拡張するため、適切なテスト関数空間を構築すること。
• 古典的微分幾何学におけるヤコビ場を一般化するように、GFE関数の変種としてテスト関数を定義すること。
• 最小化問題の一次最適性条件を、代数的設定にとどまらずGFE関数空間そのものに直接定式化できること。
• 代数的最小化によって導かれる最適性条件と、幾何的テスト関数によって導かれる最適性条件との同等性を確立すること。
• 特に測地線的および射影に基づくGFEに対して、テスト関数の評価が計算的に実行可能であるフレームワークを提供すること。

提案手法

• テスト関数は、与えられたGFE関数 $ u_h $ の変種として定義され、$ u_h $ に依存する線形空間 $ T_{u_h}V_h^M $ を形成する。
• 空間 $ T_{u_h}V_h^M $ は、各ノードごとに $ \text{dim}(M) $ 次元のベクトルを用いたノード基底を介して、ラグランジュノードにおける接ベクトルと同定される。
• 測地線的有限要素の場合、ある点におけるテスト関数の評価には、サイズ $ \dim M $ の一次方程式系を1つだけ解けばよく、計算が効率的である。
• 射影に基づくGFEの場合、評価は射影機構に依存するが、球面では閉形式の式が存在する。
• 測地線的および射影に基づくGFEの両方に対して一様に適用可能であり、補間の詳細のみが異なる。
• 評価写像と接写像の可換性を示す図式の可換性により、代数的および幾何的最適性条件の同等性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的有限要素のためのテスト関数空間をどのように定義すれば、非線形多様体値問題における弱形式化を可能にすることができるか？
• RQ2 離散的GFE関数空間の接空間と、代数的配置多様体 $ M^n $ の接空間との間の幾何的および代数的関係は何か？
• RQ3 最小化問題の一次最適性条件を、代数的設定にとどまらずGFE関数空間そのものに直接定式化できるか？
• RQ4 代数的最小化によって導かれる最適性条件と、幾何的テスト関数によって導かれる最適性条件は同等か？
• RQ5 GFEにおけるテスト関数の評価の計算コストは何か？ そして、実用的実装において効率化可能か？

主な発見

• 幾何的有限要素のためのテスト関数は、離散関数 $ u_h $ の変種として構築され、$ u_h $ に依存する線形空間 $ T_{u_h}V_h^M $ を形成し、ヤコビ場を一般化する。
• 空間 $ T_{u_h}V_h^M $ は、ラグランジュノードにおける接空間の直積と同型であり、各ノードにおける接ベクトルを指定することでノード基底が定義される。
• 測地線的有限要素では、ある点におけるテスト関数の評価には、サイズ $ \dim M $ の一次方程式系を1つだけ解けばよく、計算が効率的である。
• 球面 $ M = S^{N-1} $ の場合、テスト関数に対して閉形式の式が存在し、高速な評価が可能である。
• すべての $ \eta_h \in T_{v_h}V_h^M $ に対して $ d\mathcal{J}[v_h](\eta_h) = 0 $ である一次最適性条件は、代数的条件 $ dJ[\bar{v}](\bar{\eta}) = 0 $ と同等であることが証明され、幾何的および代数的定式化の整合性が裏付けられる。
• 提案されたテスト関数の構築により、最小化構造を持たない問題に対してもGFEの使用が正当化され、この手法の適用範囲が拡張される。