[論文レビュー] Test Functions, Kernels, Realizations and Interpolation

Michael A. Dritschel, Scott McCullough|ArXiv.org|Dec 20, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、テスト関数とその双対再帰核によって定義される関数代数に対して、アグラーの実現および補間定理を拡張し、ストーン＝チェホフコンパクト化を用いて無限個のテスト関数を扱う枠組みを導入する。これにより、バナッハ型不等式を確立し、テスト関数で生成される代数の表現を用いて、コンパクトな関数を実現できることを示し、無限次元球やアニュラスの乗数代数のような状況における障害を解消する。

ABSTRACT

Jim Agler revolutionized the area of Pick interpolation with his realization theorem for what is now called the Agler-Schur class for the unit ball in $\mathbb C^d$. We discuss an extension of these results to algebras of functions arising from test functions and the dual notion of a family of reproducing kernels, as well as the related interpolation theorem. When working with test functions, one ideally wants to use as small a collection as possible. Nevertheless, in some situations infinite sets of test functions are unavoidable. When this is the case, certain topological considerations come to the fore. We illustrate this with examples, including the multiplier algebra of an annulus and the infinite polydisk.

研究の動機と目的

• 有限のテスト関数にとどまらず、無限個のテスト関数から定義される代数へと、アグラーの実現および補間定理を一般化すること。
• 関数代数において無限個のテスト関数を用いる際に生じる位相的課題に対処すること。
• テスト関数表現を用いて、コンパクト関数に対するバナッハ型不等式を確立すること。
• テスト関数で生成される代数の表現が、有限個のテスト関数を含む「単純な表現」による近似を可能にすることを示すこと。
• ストーン＝チェホフコンパクト化が、無限次元設定におけるカーネル因数分解の障害をどのように解消するかを明確にすること。

提案手法

• テスト関数と再帰核の双対性を用いて、乗数代数の共通部分として関数代数を定義する。
• ユニタリコリゲーションと伝達関数の概念を用いて、作用素モデルによるコンパクト関数の実現を行う。
• 一般化されたカーネル因数分解を導入する：$1 - f(z)f(w)^* = \sum \Gamma_n(z,w)(1 - \psi_n(z)\psi_n(w)^*)$（テスト関数$\psi_n$を用いて）。
• 有限和が失敗する際の評価汎関数の拡張と正定値カーネル$\Gamma$の定義のために、ストーン＝チェホフコンパクト化$\beta\Psi$を用いる。
• 正定値カーネル$\Gamma_n$および$C_b(\Psi)^*$における極限を用いて、無限設定における収束性と正定値性を扱う。
• 具体的な例（無限次元球やアニュラスの乗数代数）に理論を適用し、位相的障害を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アグラー型の実現および補間定理は、無限個のテスト関数から定義される代数へと拡張可能か？
• RQ2 テスト関数が無限個である場合に、正定値カーネル因数分解の存在を保証するために必要な位相的またはコンパクト化技術は何か？
• RQ3 ストーン＝チェホフコンパクト化は、無限次元球のような状況におけるカーネル因数分解の失敗をどのように解消するか？
• RQ4 乗数代数におけるコンパクト関数は、テスト関数で生成される代数の表現によって実現可能か？
• RQ5 テスト関数にどのような条件を課すれば、関連するカーネル因数分解が存在し、標準的な有限和構成が失敗する状況はいつ発生するか？

主な発見

• 無限次元球では、標準的な有限和カーネル因数分解は失敗するが、ストーン＝チェホフコンパクト化$\beta\Psi$に点を追加することで、再び成立するようになる。
• 例1では、$\psi_n(z) = \sqrt{1 - 1/n}z$を用いた$1 - zw^*$の正定値カーネル$\Gamma_n$による因数分解は存在しないが、$\psi_\infty(z) = z$を$\beta\Psi$を介して追加することで、その因数分解が可能になる。
• 2点空間上の関数$\tilde{\psi} = 1 - \psi$はコンパクトであるが、テスト関数の条件に反するため、正定値カーネル$\Gamma$による実現は不可能であり、テスト関数の公理を確認する必要性を示している。
• 補題5.5の証明では、有限和因数分解を仮定すると、右辺が左辺の定数階数1行列$[1]$と一致できないため、矛盾が生じることを示している。
• 一般化された因数分解におけるカーネル$\Gamma$は、$C_b(\Psi)^*$における点評価として取ることができ、具体的には$\gamma(e) = e(\psi_\infty)$と定義され、これにより因数分解の失敗が解消される。
• 理論により、全家族が無限であっても、有限個のテスト関数を含む「単純な表現」による近似が可能になる。