[論文レビュー] Test Sets for Integer Programs with Z-Convex Objective

Raymond Hemmecke|ArXiv.org|Sep 8, 2003

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Graver基底を用いて有限で計算可能なテストセットを構築することで、整数線形計画法からℤ-凸目的関数をもつ整数計画法へテストセット法を拡張する。非最適解に対して改善方向を与える、拡張行列の射影されたGraver基底の性質を証明し、二次的および滑らかでない問題を含むより広範なクラスの整数計画法における増分ベースのアルゴリズムを可能にする。

ABSTRACT

In this paper we extend test set based augmentation methods for integer linear programs to programs with more general convex objective functions. We show existence and computability of finite test sets for these wider problem classes by providing an explicit relationship to Graver bases. One candidate where this new approach may turn out fruitful is the Quadratic Assignment Problem.

研究の動機と目的

• 整数計画法におけるテストセット法を線形整数計画法の範囲を超えて、ℤ-凸目的関数を扱えるように一般化すること。
• ℤ-凸目的関数をもつ整数計画法に対して、有限テストセットの存在と計算可能性を確立すること。
• 拡張問題行列のGraver基底を用いた構成的技法により、改善方向を生成すること。
• 二次割り当て問題のような困難な問題への適用可能性を示すこと。
• 非線形的で滑らかでない、かつ凸な整数計画法を、統一的なアルゴリズム枠組みで取り扱えるようにすること。

提案手法

• ℤ-凸関数の区分線形構造をモデル化するために、二値変数を導入することで拡張整数計画法を構築する。
• 拡張問題行列のGraver基底を用いて改善方向を生成する。
• 射影作用素φₙを介して、Graver基底要素を元の変数空間に射影する。
• テストセットH_CIP(A,C)を、行列(A | 0; C | Iₛ)のGraver基底の射影として定義する。
• ℤ-凸関数が増加差分をもつことを利用し、離散凸解析を可能にする。
• 任意のℤ-凸関数を最小値がαにあるものから、最小値が0にあるものに変換する変換を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ-凸目的関数をもつ整数計画法に対して、有限テストセットを構築できるか？
• RQ2 Graver基底を用いて、非線形整数計画法の改善方向を体系的に生成できるか？
• RQ3 増分法を線形目的関数を超えて拡張しても、有限収束を保つことができるか？
• RQ4 ℤ-凸関数の構造とユニバーサルテストセットの存在との関係は何か？
• RQ5 拡張定式化のGraver基底と、元の問題のテストセットとの関係は何か？

主な発見

• 任意のℤ-凸目的関数をもつ整数計画法に対して、有限テストセットH_CIP(A,C)が存在し、計算可能である。
• テストセットH_CIP(A,C)は、拡張行列(A | 0; C | Iₛ)のGraver基底の射影として得られる。
• 任意の非最適な実行可能解は、H_CIP(A,C)内のベクトルによって改善可能であり、最適解への収束が保証される。
• この手法は、絶対値関数や指数関数を含む、滑らかでないおよび二次的でないℤ-凸関数に対しても一般化可能である。
• テストセットは元のAのGraver基底を含むため、線形整数計画法と互換性がある。
• このアプローチにより、増分法を用いて二次割り当て問題のような問題をアルゴリズム的に解けるようになる。