[論文レビュー] Test vectors for Waldspurger's period integral and application to the mass equidistribution on nonsplit torus

Yueke Hu|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非分解二次拡大体上において、表現のレベルが字下のレベルに比べて著しく大きい場合の、Waldspurgerの周期積分に対して明示的な局所的テストベクトルを提供する。特に、共同の分岐を伴う場合でさえも、これらのテストベクトルに対する局所的積分が凸性の逆の境界に達することを確立し、深さの側面における非分解トーラス上のカスプ新形式の質量等分布の証明を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we provide local test vector for Waldspurger's period integral, when the level of the representation $π_v$ is sufficiently large compared to the level of the character $Ω_v$ over quadratic extension, while allowing joint ramifications. The test vectors we shall use are variants of classical newforms, and the size of the resulting local integral is asymptotically the inverse of convexity bound for $L(Π\otimesΩ,1/2)$. Such test vectors are used to recover Gross-Prasad type test vectors. We also get vanishing result for local integral when using other test vectors. This phenomenon is used to prove the mass equidistribution of cuspidal newforms on nonsplit torus in depth aspect.

研究の動機と目的

• 非分解二次拡大体上、表現のレベルが字下のレベルに比べて著しく大きい場合のWaldspurgerの周期積分に対する明示的な局所的テストベクトルを構成すること。
• これらのテストベクトルに対する局所的周期積分の大きさを評価し、捩れたL関数の凸性の逆に一致することを示すこと。
• 不適切なテストベクトルに対する消滅結果を確立し、探索空間を狭め、eps因子のテストに失敗した場合の障害を示すこと。
• 局所的結果を応用して、深さの側面における非分解トーラス上のカスプ新形式のグローバルな質量等分布を証明すること。

提案手法

• コンパクト誘導理論および二次拡大体上の字下理論に基づいて導かれる、古典的新形式および捩れた新形式の変種をテストベクトルとして用いる。
• p ≠ 2 のとき、ガウス和によるeps因子の公式を適用し、超臨界表現の特殊値を分析する。
• 字下 Ω における重み付き平均を用いて、E* が Ω⁻¹ によって作用するテストベクトルを構成する。
• 局所的非消滅および減衰結果とグローバルなスペクトル分解を組み合わせ、周期積分に対するパワー保存の境界を証明する。
• L(Π⊗Ω,1/2) の凸性境界と、消滅結果（命題3.1）を用いて、高レベルの表現からの寄与を制御する。
• 行列係数および新形式の理論を用いて、主系列および超臨界表現の両方において周期積分を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分解二次拡大体上、表現のレベルが字下のレベルに比べて著しく大きい場合、Waldspurgerの周期積分に対する局所的テストベクトルは何か？
• RQ2 これらのテストベクトルに対する局所的周期積分の大きさはどのように振る舞い、凸性の逆境界に達するか？
• RQ3 不適切なテストベクトルに対して局所的積分が消える条件は何か？ これは、非自明なHom空間の存在にどのような含意を持つのか？
• RQ4 局所的結果を用いて、グローバル周期積分に対するパワー保存の境界を証明でき、非分解トーラス上の質量等分布を導けるか？

主な発見

• 適切に選ばれた新形式のプールからの局所的周期積分は、q⁻ᶜ⁽πᵥ⁾/² のオーダーで減衰し、L(Π⊗Ω,1/2) の凸性の逆に一致する。
• 最適な族から外れるテストベクトルに対して局所的積分が消えることは、eps因子テストに失敗した場合の障害を示している。
• c(π_v) が偶数で、c(π_v) > 2c(Ω_v) であるとき、不分解の場合でも Hom_E* (π_v ⊗ Ω_v, C) に非自明なテストベクトルが存在する。
• テストベクトルは、深さ ≈ c(π_v)/2 の主合同部分群に対して不変であり、E* 作用で Ω_v⁻¹ に変換されるように構成可能である。
• 主系列表現に対しては、任意の c(π) と c(Ω) に対して適切なパラメータを選べばテストベクトルが存在し、局所的積分の大きさは c(Ω) に依存する。
• カスプ新形式に付随するグローバルな質量測度は、レベル c → ∞ のとき、非分解トーラス上で等分布する。これは深さの側面におけるパワー保存の境界を用いて証明される。