[論文レビュー] Testing Booleanity and the Uncertainty Principle

Tom Gur, Omer Tamuz|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ブール関数のフーリエ表現におけるスパarsityとその構造的性質の間の基本的関係を確立し、任意の項数が高々 $k$ 個の多重線形多項式が、ブール的であるか、さもなければ少なくとも $2/(k+2)^2$ の入力割合でブール値から逸脱していることを証明している。主な貢献は、$k$-スパarsity下でのブール性のテストに $O(k^2)$ クエリを要するタイトなアルゴリズムであり、フーリエ変換におけるエントロピー不等式を用いた不確実性原理の応用によるもので、$ Omega(k)$ の下界により最適性が確認されている。

ABSTRACT

Let f:{-1,1}^n -> R be a real function on the hypercube, given by its discrete Fourier expansion, or, equivalently, represented as a multilinear polynomial. We say that it is Boolean if its image is in {-1,1}. We show that every function on the hypercube with a sparse Fourier expansion must either be Boolean or far from Boolean. In particular, we show that a multilinear polynomial with at most k terms must either be Boolean, or output values different than -1 or 1 for a fraction of at least 2/(k+2)^2 of its domain. It follows that given oracle access to f, together with the guarantee that its representation as a multilinear polynomial has at most k terms, one can test Booleanity using O(k^2) queries. We show an Ω(k) queries lower bound for this problem. Our proof crucially uses Hirschman's entropic version of Heisenberg's uncertainty principle.

研究の動機と目的

• スパースなフーリエ表現を持つ関数がブール的であるか、それともブール的でないかを特定すること。
• スパース性の下で、クエリベースのアルゴリズムを用いたブール性のテストを効率的に開発すること。
• ブール性テスト問題のタイトなクエリ複雑度境界を確立すること。
• 離散的不確実性原理、特にヒルシュマンのエントロピー的バージョンを用いて、関数のスパarsityと値分布の関係を分析すること。
• 理論的コンピュータサイエンスにおけるフーリエスパarsity、ブール的構造、情報理論的原則との関係を調査すること。

提案手法

• ブール関数を、そのフーリエ変換を自身と畳み込むとデルタ関数になる関数として特徴付けるための畳み込み定理を用いる。
• ヒルシュマンのエントロピー的不確実性原理を適用し、非ブール的 $k$-スパース関数が $\{-1,1\}$ から逸脱する最小入力割合を評価する。
• 任意のサイズ $d$ の有限集合 $D$ に対して、$k$-スパース関数は $D$ に完全に含まれるか、さもなければ少なくとも $d!/(k+d)^d$ の入力割合で $D$ を逸脱する、という一般化された境界を導出する。
• 誤差確率 $\epsilon$ でブール性を $O(k^2 \log(1/\epsilon))$ クエリで正しくテストできる確率的アルゴリズムを構築する。
• 2つの分布の区別が困難であることを用いて、$\Omega(k)$ のクエリ下界を証明する。1つはブール関数の上、もう1つは非ブール的 $k$-スパース関数で非ブール出力が制限されたものである。
• 条件付きエントロピーとサポートサイズの議論を用い、正規化されたフーリエ変換のエントロピーと、関数の $\pm1$ からの二乗偏差のスパarsityとの関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ブール的 $k$-スパース関数が $\{-1,1\}$ から逸脱する最小入力割合は何か？
• RQ2 不確実性原理を用いて、スパース関数のブール的でない距離に関する定量的下界を導出できるか？
• RQ3 $k$-スパース関数がブール的であるかどうかをテストする最適なクエリ複雑度は何か？
• RQ4 関数のフーリエ係数は、関数の値域をどのように制限するか、特に関数がブール的でない場合に。
• RQ5 エントロピー的不確実性原理は、ブール関数解析における性質テストのための新たなツールを提供できるか？

主な発見

• 任意の $k$-スパース関数は、ブール的であるか、さもなければ少なくとも $2/(k+2)^2$ の入力割合で $\{-1,1\}$ から逸脱している。
• 任意のサイズ $d$ の有限集合 $D$ に対して、$k$-スパース関数は $D$ に完全に含まれるか、さもなければ少なくとも $d!/(k+d)^d$ の入力割合で $D$ を逸脱する。
• 誤差確率 $\epsilon$ でブール性を $O(k^2 \log(1/\epsilon))$ クエリで正しくテストできる確率的アルゴリズムが存在する。
• $k$-スパース関数のブール性テストのクエリ複雑度は、下界 $\Omega(k)$ で抑えられ、対数的要因を除いて上界と一致する。
• エントロピー的不確実性原理は、フーリエ変換のスパarsityと最小ブール的でない距離との間でタイトな関係を提供する。
• 境界 $2/(k+2)^2$ は定数要因を除いてタイトであり、$o(k)$ クエリで区別不能なブール的および非ブール的関数の分布を構築することで示された。