[論文レビュー] Testing Conditional Independence via Quantile Regression Based Partial Copulas

Lasse Petersen, Niels Richard Hansen|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Statistical Methods and Inference参考文献 26被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、分位数回帰に基づく部分コプスラ関数を用いた非パラメトリックな条件付き独立性の検定を提案する。この手法は、条件付き独立性を非パラメトリックな残差の独立性検定に変換する。条件付き異分散性下でも漸近的妥当性と優れた検出力が達成され、分位数回帰推定量の弱い正則性条件のもとで、サイズと検出力に理論的保証が与えられる。

ABSTRACT

The partial copula provides a method for describing the dependence between two random variables $X$ and $Y$ conditional on a third random vector $Z$ in terms of nonparametric residuals $U_1$ and $U_2$. This paper develops a nonparametric test for conditional independence by combining the partial copula with a quantile regression based method for estimating the nonparametric residuals. We consider a test statistic based on generalized correlation between $U_1$ and $U_2$ and derive its large sample properties under consistency assumptions on the quantile regression procedure. We demonstrate through a simulation study that the resulting test is sound under complicated data generating distributions. Moreover, in the examples considered the test is competitive to other state-of-the-art conditional independence tests in terms of level and power, and it has superior power in cases with conditional variance heterogeneity of $X$ and $Y$ given $Z$.

研究の動機と目的

• 弱い分布的仮定のもとで、$X \perp\!\!\! \perp Y \mid Z$ に対する有効な非パラメトリック検定を開発すること。
• 一般の絶対連続性のもとで条件付き独立性が検定不能であるという理論的課題に対処するため、分布の部分集合 $\mathcal{P}_0 \subset \mathcal{P}$ に制限すること。
• 部分コプスラフレームワークを活用し、条件付き独立性を変換された残差の周辺的独立性に還元すること。
• 広いクラスの代替仮説、特に条件付き分散の不均一性を伴う場合においても、正しい漸近的水準と非自明な検出力を維持する検定を保証すること。
• 推定された残差に基づく汎用相関係数の統計量の大標本的性質を確立すること。

提案手法

• 分位数レベル $\tau_k \in [\tau_{\min}, \tau_{\max}]$ のグリッド上で、分位数回帰を用いて条件付き分布関数 $F_{X|Z}$ と $F_{Y|Z}$ を推定する。
• 各 $z$ において、分位数回帰の出力を線形補間することで、経験的累積分布関数推定量 $\hat{F}^{(m,n)}$ を構築する。
• データを部分コプスラ残差 $\hat{U}_{1,i} = \hat{F}^{(n)}_{X|Z}(X_i|Z_i)$ および $\hat{U}_{2,i} = \hat{F}^{(n)}_{Y|Z}(Y_i|Z_i)$ に変換する。
• 正則性条件を満たすベクトル値関数 $\varphi$ に対して、一般化相関係数検定統計量 $\hat{\rho}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varphi(\hat{U}_{1,i}) \varphi(\hat{U}_{2,i})^T$ を計算する。
• 帰無仮説下での $\sqrt{n} \hat{\rho}_n$ の漸近正規性と、検定統計量 $T_n$ のカイ二乗分布への漸近的収束を用いて、有効な漸近的水準 $\alpha$ の検定を構築する。
• クラス $\mathcal{P}_0$ 全体にわたる分位数回帰に基づく推定量 $\hat{F}^{(m,n)}$ の一様一貫性を確立し、残差変換が漸近的性質を保つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分位数回帰推定量の弱い正則性条件のもとで、条件付き独立性の非パラメトリック検定が、正しい漸近的サイズを維持できるか。
• RQ2 $X$ と $Y$ が $Z$ 条件付きで異分散性を示す状況において、提案手法が既存の手法よりも高い検出力を達成するか。
• RQ3 部分コプスラフレームワークを分位数回帰と効果的に組み合わせることで、一貫性と漸近的妥当性を持つ検定が得られるか。
• RQ4 推定された残差に基づく一般化相関係数検定統計量の、大標本的性質は何か。
• RQ5 どのような条件下で、非自明な分布クラス $\mathcal{P}_0$ 全体にわたって、検定は一様漸近的水準と検出力を維持するか。

主な発見

• 帰無仮説 $X \perp\!\!\! \perp Y \mid Z$ の下で、クラス $\mathcal{P}_0$ において検定統計量の分布が一様に収束するという意味で、検定は漸近的水準 $\alpha$ を達成する。
• シミュレーションスタディにより、$X$ と $Y$ が $Z$ 条件付きで分散の不均一性を示す状況において、本手法は最先端の代替手法よりも優れた検出力を示す。
• 分位数回帰手順の一致性仮定のもとで、分位数回帰に基づく推定量 $\hat{F}^{(m,n)}$ は $\|F - \hat{F}^{(m,n)}\|_{\mathcal{T},\infty} = \mathcal{O}_P(g_P(n))$ を満たす。
• 帰無仮説下で、一般化相関係数検定統計量 $\sqrt{n} \hat{\rho}_n$ は正規分布 $\mathcal{N}(0, \Sigma \otimes \Sigma)$ に分布収束する。
• 非零相関 $|\rho_{k\ell}| > \lambda > 0$ を伴う代替仮説のもとで、統計量 $nT_n$ は確率的に無限大に発散し、漸近的検出力が 1 に達することが保証される。
• 複雑なデータ生成メカニズムのもとでも、シミュレーションにより、検定は正しいサイズと非自明な検出力を維持することが示された。