[論文レビュー] Testing Coverage Functions

Deeparnab Chakrabarty, Zhiyi Huang|arXiv (Cornell University)|May 8, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、値オракルから被覆関数を再構成する多項式時間アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは O(m|U|) 回のクエリを用い、被覆関数かどうかを効率的にテスト可能である。さらに、一般には被覆関数のテストが不可能であり、距離測度に応じて被覆関数から遠い関数に対しては指数的多数のクエリが必要であることを示している。

ABSTRACT

A coverage function f over a ground set [m] is associated with a universe U of weighted elements and m subsets A_1,..., A_m of U, and for any subset T of [m], f(T) is defined as the total weight of the elements in the union $\cup_{j\in T} A_j$. Coverage functions are an important special case of submodular functions, and arise in many applications, for instance as a class of utility functions of agents in combinatorial auctions. Set functions such as coverage functions often lack succinct representations, and in algorithmic applications, an access to a value oracle is assumed. In this paper, we ask whether one can test if a given oracle is that of a coverage function or not. We demonstrate an algorithm which makes O(m|U|) queries to an oracle of a coverage function and completely reconstructs it. This gives a polytime tester for succinct coverage functions for which |U$ is polynomially bounded in m. In contrast, we demonstrate a set function which is "far" from coverage, but requires 2^{ ildeΘ(m)} queries to distinguish it from the class of coverage functions.

研究の動機と目的

• 与えられた値オラクルが被覆関数に対応しているか、それともそれがから遠く離れているかを特定すること。
• 性質テストの枠組みにおいて、被覆関数のクエリ複雑度を調査すること。
• 基礎となるユニバースサイズ |U| が m に対して多項式的に有界でない場合、被覆関数のテストにどのような制限が生じるかを検討すること。
• 非被覆性の証明書の密度を捉える新しい距離概念「W-距離」を導入すること。

提案手法

• 被覆関数の完全な集合系と重みを回復するために、O(m|U|) 回のクエリを実行する再構成アルゴリズムを提案する。
• 集合関数の W 変換を用いて、非負の W 係数を用いた被覆関数の特徴付けを行う。
• 被覆関数からの W-距離が大きくても、非被覆性を検出するために指数的多数のクエリを要する関数族を構築する。
• W 係数を操作し、所望の性質を持つ関数を設計するために、マーラー基底表現を用いる。
• 密度領域で負の W 係数を持つ任意の関数は、オラクルクエリによって被覆関数と容易に区別できないことを示す。
• 多変量多項式と根数の予想を用いて、このような関数が標準的距離測度においても被覆関数から遠く離れていることを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 |U| が m に対して多項式的である場合に、被覆関数をオラクルクエリのみで効率的にテストできるか。
• RQ2 被覆関数から ε-遠く離れた関数と真の被覆関数を区別するためのクエリ複雑度は何か。
• RQ3 非被覆性の自然な証明書は存在するか。その証明書を発見するにはどの程度のクエリが必要か。
• RQ4 W-距離測度は、クエリ複雑度の観点から標準的距離測度とどのように関係しているか。
• RQ5 標準的意味で被覆関数から遠い関数であっても、検出するために指数的多数のクエリを要する関数は存在するか。

主な発見

• 本稿では、O(m|U|) 回のクエリを用いて被覆関数を完全に回復する再構成アルゴリズムを提示し、要約可能な被覆関数の多項式時間テストを可能にする。
• 要約可能な被覆関数（|U| が m に対して多項式的である場合）に対して、提案されたアルゴリズムは完全かつ効率的なテスト器を提供する。
• 本稿では、W-距離で 1−e−Θ(m)-遠く離れた関数を構築したが、真の被覆関数と区別するには 2Θ(m) 回のクエリを要する。
• W-距離における被覆関数のテストは、非被覆性を検出するために指数的多数のクエリを要する関数が存在するため、非効率であることを証明した。
• 多変量多項式の根に関する予想を仮定することで、このような関数が標準的距離測度においても被覆関数から遠く離れている証拠を提示した。
• サブモジュラ関数は O(ε−Õ(√m)) 回のクエリでテスト可能である一方、被覆関数は構造的複雑性のため、根本的に異なるアプローチを要することが示された。