[論文レビュー] Testing for change-points in long-range dependent time series by means of a self-normalized Wilcoxon test

Annika Betken|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、長-range依存性を持つ時系列の平均における変化点を検出するための自己正規化ウィルコクソン検定を提案する。未知の正規化をデータ駆動型のスケール推定値に置き換えることで、帰無仮説（非退化限界に収束）および局所代替仮説（無限大に発散）の下で漸近的有効性を達成し、中程度の標本サイズでも一貫性と正確なサイズ制御を保証する。

ABSTRACT

We propose a testing procedure based on the Wilcoxon two-sample test statistic in order to test for change-points in the mean of long-range dependent data. We show that the corresponding self-normalized test statistic converges in distribution to a non-degenerate limit under the hypothesis that no change occurred and that it diverges to infinity under the alternative of a change-point with constant height. Furthermore, we derive the asymptotic distribution of the self-normalized Wilcoxon test statistic under local alternatives, that is under the assumption that the height of the level shift decreases as the sample size increases. Regarding the finite sample performance, simulation results confirm that the self-normalized Wilcoxon test yields a consistent discrimination between hypothesis and alternative and that its empirical size is already close to the significance level for moderate sample sizes.

研究の動機と目的

• 長-range依存データに対するノンパラメトリック変化点検定における未知の正規化の課題に対処すること。
• 未知のスケーリング定数に依存しないウィルコクソン二標本検定の自己正規化版を開発すること。
• 帰無仮説および局所代替仮説の下で自己正規化ウィルコクソン検定の漸近的理論を確立すること。
• 特に長-range依存性下でも、有限標本において正しい実効サイズと高い検出力を維持すること。
• 長記憶的依存性を持つ時系列におけるレベルシフトを検出するためのロバストで分布フリーな手法を提供すること。

提案手法

• 観測値の経験的分布に基づくデータ駆動型スケール推定値によって未知の正規化因子 $ d_n $ を置き換えることで、自己正規化検定統計量を提案する。
• 最初の $ k $ 個と最後の $ n-k $ 個の観測値間のウィルコクソンランク和 $ W_{k,n} $ を考慮することにより、変化点設定へのウィルコクソン二標本ランク検定の適応を図る。
• 長-range依存性下での検定統計量の漸近的挙動を特徴付けるために、指示関数 $ 1\{G(\xi_i) \leq x\} $ のエルミート展開を用いる。
• 連続写像定理を適用し、帰無仮説および局所代替仮説の下での自己正規化検定統計量の弱収束を導出する。
• 弱収束の議論と、自己相似性パラメータ $ H = 1 - mD/2 $ を持つ $ m $ 階のエルミート過程を含む関数的中心極限定理を用いる。
• 帰無仮説下で分子が無限大に発散し、分母が確率的にゼロに収束することを示すことにより、一貫性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知の正規化定数のもとで、長-range依存性下でも自己正規化ウィルコクソン検定が漸近的有効性を維持できるか。
• RQ2 長-range依存性下でも、有限標本において自己正規化ウィルコクソン検定が正しい実効サイズと非自明な検出力を達成できるか。
• RQ3 縮小するレベルシフトを伴う局所代替仮説下で、自己正規化ウィルコクソン検定の漸近的分布はどのように振る舞うか。
• RQ4 変化点がない帰無仮説下で、自己正規化検定統計量の極限的挙動はいかなるものか。
• RQ5 自己正規化アプローチによって、長-range依存性パラメータ $ D $ およびエルミートランク $ m $ の事前知識の必要性が排除できるか。

主な発見

• 変化点がない帰無仮説下では、自己正規化ウィルコクソン検定統計量は、$ m $ 階のエルミート過程および誤差過程の分布に依存する非退化限界分布に収束する。
• レベルシフト $ h_n \sim c d_n / n $ を伴う局所代替仮説下では、検定統計量は確率的に無限大に発散し、検定の一貫性が証明される。
• 中程度の標本サイズでも、自己正規化ウィルコクソン検定の実効サイズはすでに名目有意水準に近く、有限標本性能が優れていることが示唆される。
• 局所代替仮説下の漸近的分布は、エルミート過程とレベルシフトの高さおよび誤差分布の密度に比例するドリフト項を含む非退化限界に収束する。
• 代替仮説下では、自己正規化統計量の分母は確率的にゼロに収束し、分子は非ゼロ定数に収束するため、検定統計量の発散が保証される。
• この検定は未知の長-range依存性パラメータに対してロバストであり、エルミートランク $ m $ の事前知識を必要とせず、自己正規化がデータ駆動型スケーリングに適応する。