[論文レビュー] TESTING FOR RESIDUAL CORRELATION OF ANY ORDER IN THE AUTOREGRESSIVE PROCESS

Frédéric Proïa|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自己回帰モデルにおける任意の次数の残差相関に対する新しい統計的検定を提案し、駆動ノイズが自己相関を持つ場合の最小二乗推定量の不一致性を解決する。主な自己回帰推定量およびノイズの系列相関のための新しい推定量のほとんど確実収束および漸近正規性を確立し、Ljung-Box、Box-Pierce、Breusch-Godfrey検定よりも優れている。特に小標本において顕著な優位性を示す。

ABSTRACT

We are interested in the implications of a linearly autocorrelated driven noise on the asymptotic behavior of the usual least squares estimator in a stable autoregressive process. We show that the least squares estimator is not consistent and we suggest a sharp analysis of its almost sure limiting value as well as its asymptotic normality. We also establish the almost sure convergence and the asymptotic normality of the estimated serial correlation parameter of the driven noise. Then, we derive a statistical procedure enabling to test for correlation of any order in the residuals of an autoregressive modelling, giving clearly better results than the commonly used portmanteau tests of Ljung-Box and Box-Pierce, and appearing to outperform the Breusch-Godfrey procedure on small-sized samples.

研究の動機と目的

• 駆動ノイズが自己相関を持つ場合の安定自己回帰過程における最小二乗推定量の漸近的挙動を分析すること。
• 一般の自己回帰的ノイズ構造下で、最小二乗推定量のほとんど確実収束および漸近正規性を確立すること。
• 駆動ノイズの系列相関パラメータのための新しい推定量を提案し、その漸近的性質を導出すること。
• 既存の手法よりも優れた性能を示す、任意の次数の残差相関を検出する統計的検定を開発すること。特に小標本において顕著な優位性を示すこと。
• マルティンゲール手法を用いた厳密な理論的基盤を構築し、自己回帰モデルにおけるバイアスおよび収束に関する先行結果を拡張すること。

提案手法

• 観測過程を次数$p$の安定自己回帰過程としてモデル化し、駆動ノイズを次数$q$の因果的自己回帰過程とする。
• 主な自己回帰パラメータ$\theta$およびノイズ相関パラメータ$\rho$の両者に対して、最小二乗推定フレームワークを用いる。
• スペクトルノルムおよび二次変動の分析に依拠し、マルティンゲールアプローチを用いて推定量のほとんど確実収束および漸近正規性を導出する。
• ベクトルマルティンゲールの中心極限定理を用いて、残差自己相関に基づく検定統計量の漸近的分布を導出する。
• Durbin-Watsonのアプローチを模倣したが、任意の次数の一般な残差相関を扱えるように適応させた検定統計量を構築する。
• スルツキーの補題およびリンデバーグ条件を用いて、残差相関なしの帰無仮説下での検定統計量の極限分布を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己回帰モデルにおける駆動ノイズが自己相関を持つ場合、最小二乗推定量の漸近的挙動はどのように変化するか？
• RQ2 自己相関を持つノイズが、自己回帰モデルにおける最小二乗推定量の一致性および極限分布に与える影響は何か？
• RQ3 一般条件下で、ノイズの系列相関パラメータのための新しい推定量が一貫的かつ漸近的に正規分布に従うことは可能か？
• RQ4 提案された残差相関検定は、Ljung-Box、Box-Pierce、Breusch-Godfrey手法と比較して、特に小標本においてパワーに優れているか？
• RQ5 帰無仮説（残差相関なし）下での提案された検定統計量の漸近的分布は何か？

主な発見

• 駆動ノイズが自己相関を持つ場合、主な自己回帰パラメータ$\theta$の最小二乗推定量は一貫性を欠くが、非退化限界にほとんど確実に収束する。
• 最小二乗推定量$\theta$の漸近的分布は、設計行列のスペクトルノルムおよび固有値を含む、明確に特徴付けられた分散共分散行列を持つ正規分布である。
• ノイズの系列相関パラメータのための提案推定量$\widehat{\rho}_n$は、帰無仮説下でほとんど確実に一貫的であり、漸近的に正規分布に従う。
• 推定量$\widehat{\rho}_n$に基づく検定統計量は漸近的に正規分布に従い、Ljung-Box、Box-Pierce、Breusch-Godfrey手法よりも小標本で優れた性能を示す。
• 検定統計量の極限分布は$\mathcal{N}(0, \Gamma_Z)$として導出され、ここで$\Gamma_Z = \sigma^4 I_q - \sigma^2 \Upsilon_{pq} \Delta_p^{-1} \Upsilon_{pq}^\prime$である。これにより、有効な推論が保証される。
• シミュレーション結果は、提案手法が既存の代替手法よりも高い実効的パワーを示すことを確認しており、特に小標本サイズにおいて顕著である。