[論文レビュー] Testing for Structural Breaks via Ordinal Pattern Dependence

Alexander Schnurr, Herold Dehling|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 16被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、順序パターン依存性を用いて、2つの時系列間の依存構造の構造的変化を検出する、頑健で非パラメトリックな手法を提案する。連続するデータポイントの順序構造（ランクの順列を介して）を分析することで、2次モーメントの仮定を必要とせず、非線形で単調な依存を捉える。主な貢献は、この依存構造における構造的変化を正式に検定する手法であり、漸近的にブラウン運動の関数に収束することが証明されており、ファイナンスおよびバイオメディカルデータへの応用を含む。

ABSTRACT

We propose new concepts in order to analyze and model the dependence structure between two time series. Our methods rely exclusively on the order structure of the data points. Hence, the methods are stable under monotone transformations of the time series and robust against small perturbations or measurement errors. Ordinal pattern dependence can be characterized by four parameters. We propose estimators for these parameters, and we calculate their asymptotic distributions. Furthermore, we derive a test for structural breaks within the dependence structure. All results are supplemented by simulation studies and empirical examples. For three consecutive data points attaining different values, there are six possibilities how their values can be ordered. These possibilities are called ordinal patterns. Our first idea is simply to count the number of coincidences of patterns in both time series, and to compare this with the expected number in the case of independence. If we detect a lot of coincident patterns, this means that the up-and-down behavior is similar. Hence, our concept can be seen as a way to measure non-linear `correlation'. We show in the last section, how to generalize the concept in order to capture various other kinds of dependence.

研究の動機と目的

• 2つの時系列間の依存構造の変化を検出する非パラメトリックで頑健な手法を開発すること。
• 2次モーメントを要件としない非線形で単調な依存をモデル化するため、順序パターン依存性を拡張すること。
• 主要な依存パラメータ（p, q, r, s）の一致推定量および漸近的分布を提供すること。
• 順序パターン依存構造における構造的変化を正式に検定する統計的検定を構築すること。
• シミュレーションスタディおよび実世界の金融データ例を通じて、本手法の適用可能性を示すこと。

提案手法

• 各時系列の連続する h+1 個のデータポイントのランク順列として順序パターンを定義する。
• 両方の系列が同じ順序パターンを示す確率 p を用いて正の依存を測定する。
• 一方の系列が他方の逆（反転）パターンを示す確率 r を用いて負の依存を測定する。
• 一致するか反転したパターンの経験的相対頻度を用いて p と r を推定する。
• 近隣時刻依存性および 1-近似関数的条件の下で、デルタ法を用いて推定量の漸近的正規性を確立する。
• 部分和としてのパターン一致インジケータに基づく検定統計量 Tn を構築し、帰無仮説（構造的変化なし）の下で、弱収束がブラウン運動の関数に一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次モーメントが有限でないことを仮定せずに、順序パターン依存性は時系列間の非線形で単調な依存を効果的に検出できるか？
• RQ2 順序パターンを用いて、依存構造における構造的変化を正式に検定する方法は何か？
• RQ3 弱依存仮定の下で、主要パラメータ（p, q, r, s）の推定量の漸近的分布は何か？
• RQ4 本手法は測定誤差やデータの単調変換に対してどれほど頑健か？
• RQ5 本検定は、金融市場ダイナミクスで観察されるような意味のある依存の変化を検出できるか？

主な発見

• 一致する順序パターンの確率（p）の推定量は、導出された分散・共分散構造を有する漸近的正規分布に従う。
• 構造的変化のための検定統計量 Tn は、分布的に σ sup₀≤λ≤1 |W(λ) − λW(1)| に収束する。ここで W は標準ブラウン運動である。
• 本手法は単調変換に対して頑健であり、小さな摂動や測定誤差に対しても安定である。
• 古典的相関に基づく検定とは異なり、基礎となる時系列が2次モーメントを持たない場合でも、本検定は有効性を保つ。
• S&P 500 および VIX データへの実証的応用により、依存性における検出可能な構造的変化が確認され、本手法の実用的妥当性が裏付けられた。
• 本手法はピアソン相関、ケンドールのtau、スピアマンのrhoでは検出できない依存構造を捉えることができ、非線形で単調な関係に対する独自の感受性を示した。