[論文レビュー] Testing k-binomial equivalence

Dominik D. Freydenberger, Paweł Gawrychowski+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2015

Algorithms and Data Compression参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、2つの単語のk-バイノミアル同値性をテストする2つの多項式時間アルゴリズムを提示する。1つは自動機理論に依存する決定的だが非効率なものであり、もう1つはより効率的なランダム化モンテカルロアルゴリズムである。主な貢献は、時間計算量O(nk² + k⁴)のランダム化アルゴリズムであり、誤差確率が1/n未満で高確率に正しいk-バイノミアル同値性を同定できる。これにより、k-バイノミアル同値性の下での効率的なパターンマッチングが可能になる。

ABSTRACT

Two words $w_1$ and $w_2$ are said to be $k$-binomial equivalent if every non-empty word $x$ of length at most $k$ over the alphabet of $w_1$ and $w_2$ appears as a scattered factor of $w_1$ exactly as many times as it appears as a scattered factor of $w_2$. We give two different polynomial-time algorithms testing the $k$-binomial equivalence of two words. The first one is deterministic (but the degree of the corresponding polynomial is too high) and the second one is randomised (it is more direct and more efficient). These are the first known algorithms for the problem which run in polynomial time.

研究の動機と目的

• 2つの単語がk-バイノミアル同値であるかどうかをテストする効率的なアルゴリズムを開発すること。
• k-バイノミアル同値性のアルゴリズム的計算量を解明すること。これは、散在因子のカウントに基づくアベール同値性の一般化である。
• k-バイノミアル反復を避ける無限単語の構成といった応用分野における実用的計算を可能にすること。
• k-バイノミアル同値性の下でのパターンマッチングを、同値性テストに還元することで支援すること。
• 組合せ論的単語のスケールの大きなシミュレーションにおいて、誤差の明示的境界を備えたソリューションを提供すること。

提案手法

• 有限体F_p上での1変数多項式Q_k,w(x)の評価に基づくランダム化アプローチを用い、k-バイノミアル同値性をテストする。
• 誤検出の確率を低下させるために、少なくとも⌈k + 1 + 2 log n⌉ビットのサイズのランダムな素数pを選択する。
• T[i][j]がw[i..n]におけるjの2進表現の散在する出現回数を数えるテーブルT[i][j]を用いた動的計画法により、多項式Q_k,w(x)を計算する。
• シュワーツ・ジッペルの補題を活用し、非ゼロ多項式がF_pのランダムな点で消失する確率を抑え込む。
• 差多項式Q_{w1,w2}(x)の係数がn^kで有界であるという事実を活用し、誤検出の原因となる素因数の数を制限する。
• 確率的素数判定と多項式評価を組み合わせることで、誤差確率が低いモンテカルロアルゴリズムを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの単語間のk-バイノミアル同値性は多項式時間でテスト可能か？
• RQ2 誤差が有界な状態で、k-バイノミアル同値性をテストする最も効率的なランダム化アルゴリズムは何か？
• RQ3 k-バイノミアル同値性は、長大なテキストにおけるパターンマッチングにどのように活用できるか？
• RQ4 この問題に関して、決定的アプローチとランダム化アプローチの計算限界は何か？
• RQ5 k-バイノミアル反復回避のシミュレーションにおいて、繰り返しの同値性チェックを回避する最適化は可能か？

主な発見

• k-バイノミアル同値性テストのための決定的多項式時間アルゴリズムは存在するが、その次数は高く、明示的に与えられていない。
• 時間計算量O(nk² + k⁴)のランダム化モンテカルロアルゴリズムが提案され、nおよびkの両方に関して多項式時間で実行される。
• 単語がk-バイノミアル同値である場合、アルゴリズムは「YES」と確実に返す。そうでない場合、「NO」と返す確率は1 - 1/n以上である。
• 誤差確率は3つの要因の和として抑えられており、合成素数の生成、誤ったpでの消失、悪いランダムなxの3つである。これらすべてがo(1/n)であることが示された。
• アルゴリズムにより、k-バイノミアル同値性の下での効率的なパターンマッチングが可能になり、テキストのすべての因子をパターンと照合してテストできる。
• この結果により、与えられたパターンとk-バイノミアル同値なすべての因子を多項式時間で見つけることができる。