[論文レビュー] Testing local properties of arrays

Omri Ben‐Eliezer|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Algorithms and Data Compression被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の有限アルファベット上のd次元配列におけるk-局所的性質のための汎用的で片側誤差、非適応的テストフレームワークを導入する。性質やアルファベットに依存しない球体に類似した構造をクエリすることで、1次元ではO(ε⁻¹k log(εn/k))、d>1ではO(c_d ε⁻¹ᐟᵈ k n^{d-1})の最適なクエリ複雑度を確立し、単調性、リプシッツ連続性、凸性、その他の局所的性質においてタイトな境界を達成する。

ABSTRACT

We study testing of local properties in one-dimensional and multi-dimensional arrays. A property of $d$-dimensional arrays $f:[n]^d o Σ$ is $k$-local if it can be defined by a family of $k imes \ldots imes k$ forbidden consecutive patterns. This definition captures numerous interesting properties. For example, monotonicity, Lipschitz continuity and submodularity are $2$-local; convexity is (usually) $3$-local; and many typical problems in computational biology and computer vision involve $o(n)$-local properties. In this work, we present a generic approach to test all local properties of arrays over any finite (and not necessarily bounded size) alphabet. We show that any $k$-local property of $d$-dimensional arrays is testable by a simple canonical one-sided error non-adaptive $\varepsilon$-test, whose query complexity is $O(ε^{-1}k \log{\frac{εn}{k}})$ for $d = 1$ and $O(c_d ε^{-1/d} k \cdot n^{d-1})$ for $d > 1$. The queries made by the canonical test constitute sphere-like structures of varying sizes, and are completely independent of the property and the alphabet $Σ$. The query complexity is optimal for a wide range of parameters: For $d=1$, this matches the query complexity of many previously investigated local properties, while for $d > 1$ we design and analyze new constructions of $k$-local properties whose one-sided non-adaptive query complexity matches our upper bounds. For some previously studied properties, our method provides the first known sublinear upper bound on the query complexity.

研究の動機と目的

• 構造化された配列における局所的性質のための統一的で効率的なテストフレームワークを構築すること。特に、禁止された連続パターンによって定義される性質を対象とする。
• 1次元および多次元配列におけるk-局所的性質のテストのためのタイトなクエリ複雑度の境界を確立すること。
• 片側誤差および両側誤差の非適応的テストに対して、一致する下界を用いて提案手法の最適性を示すこと。
• 計算生物学、コンピュータビジョン、最適化分野における多数の問題をk-局所的性質として捉えることで、性質テストの適用範囲を拡張すること。
• 従来未検討であった局所的性質、特に「ゼロの数がイェンより多い」のようなグローバルカウントベースの条件を含む、最初の既知のサブ線形クエリ複雑度上界を提供すること。

提案手法

• 性質やアルファベットに依存しない、サイズが異なる球体に類似した構造をクエリする、標準的な片側誤差非適応的εテストを提案する。
• k-局所的性質を、k×⋯×kの禁止された連続部分配列の族を避けることで、配列が性質を満たすかどうかが定義されるものとする。
• ベース配列からの集約された0/1カウントを各セルが保持する高次元の補助配列A₃におけるカウントベースの性質への還元を用いる。
• 重心におけるゼロの数がイェンより多いなどのグローバルカウントの不均衡に基づいて、受理集合C_accと拒否集合C_rejを構築し、下界を確立する。
• 確率的解析を用いてクエリ集合Qにおける総カウントの期待値をバウンドし、片側誤差でC_accとC_rejを区別するには|Q|がΩ(n^{d-1}/d)以上である必要があることを示す。
• データフローとカウント集約ルールを変更することで、任意の偶数k ≥ 2および定数εに対して一般化し、k-局所性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限アルファベット上のd次元配列におけるすべてのk-局所的性質を扱える、単一の汎用的テストフレームワークを設計できるか？
• RQ2 1次元および多次元配列におけるk-局所的性質のテストの最適なクエリ複雑度は何か？
• RQ3 提案フレームワークのクエリ複雑度境界は、単調性、リプシッツ連続性、凸性といった特定の性質に対する既知の境界とどのように比較されるか？
• RQ4 このフレームワークは、従来未検討であった局所的性質、例えばグローバルカウントベースの条件「重心におけるゼロの数がイェンより多い」に対して、最初のサブ線形クエリ複雑度上界を提供できるか？
• RQ5 非適応的で片側誤差のk-局所的性質のテストに対する、最もタイトな下界は何か？また、それらは上界と一致するか？

主な発見

• 提案された標準的テストは、d=1ではO(ε⁻¹k log(εn/k))、d>1ではO(c_d ε⁻¹ᐟᵈ k n^{d-1})のクエリ複雑度を達成し、単調性およびリプシッツ連続性の既知の最適境界と一致する。
• d=1の場合、このクエリ複雑度は従来研究済みの局所的性質の最良の既知の境界と一致し、フレームワークの効率性を確認する。
• d>1の場合、フレームワークの上界は、新しいk-局所的性質の構成によって達成され、複雑度境界のタイトさを証明する。
• この手法は、従来の意味で局所的ではないがグローバルな性質、例えば「重心におけるゼロの数がイェンより多い」のような性質に対しても、最初の既知のサブ線形クエリ複雑度上界を提供する。
• 片側誤差非適応的テストに対してΩ(n^{d-1}/d)の一致する下界が証明され、クエリ複雑度が定数倍の範囲で最適であることが示される。
• このフレームワークは普遍的である：クエリ集合は性質やアルファベットに依存せず、kとdにのみ依存するため、多様な応用分野に容易に再利用可能である。