[論文レビュー] Testing nonparametric shape restrictions

Tatiana Komarova, Javier Hidalgo|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Statistical Methods and Inference参考文献 64被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単調性、凸性、U字型、対数凸性などの広範な形状制約—例えば、部分和に基づく経験過程を用いて非パラメトリックな検定を提案する。変換後、検定の漸近的分布は標準ブラウン運動の関数となるため、臨界値が得られる。また、有限標本性能を向上させるために有効なブートストラップアルゴリズムも提示されている。

ABSTRACT

We describe and examine a test for a general class of shape constraints, such as constraints on the signs of derivatives, U-(S-)shape, symmetry, quasi-convexity, log-convexity, $r$-convexity, among others, in a nonparametric framework using partial sums empirical processes. We show that, after a suitable transformation, its asymptotic distribution is a functional of the standard Brownian motion, so that critical values are available. However, due to the possible poor approximation of the asymptotic critical values to the finite sample ones, we also describe a valid bootstrap algorithm.

研究の動機と目的

• パラメトリックな代替仮説を仮定せずに、回帰モデルにおける非パラメトリックな形状制約の一般検定を開発すること。
• 非パラメトリック回帰における単調性、凸性、S字型関係などの定性的特徴を検定する課題に対処すること。
• Khmaladzeの変換により、帰無仮説の下で漸近的分布がノイズパラメータに依存しない分布自由な形となる検定を提供すること。
• 漸近的臨界値の有限標本における不正確さを考慮し、有効なブートストラップ手順を導入して有限標本性能を向上させること。
• バンド幅選択を必要とせず、Bスpline近似と経験過程理論を活用して実装可能であることを保証すること。

提案手法

• 形状制約からの逸脱に敏感な検定統計量を構築するために、部分和に基づく経験過程を用いる。
• 回帰関数を次数 $ q $ のBスplineと $ L $ 個のノットを用いて近似し、形状制約をスプライン係数 $ \beta_\ell $ への制約に変換する。
• 帰無仮説の下で経験過程を標準ブラウン運動の関数に変換するために、Khmaladzeの martingale 変換を適用する。
• 形状制約を非確率的集合 $ S_{q,L} \subseteq \mathbb{R}^L $ として課し、$ L \to \infty $ の下で一貫性が保証されるようにする。
• 変換された過程の分布から漸近的臨界値を導出し、サイズ制御が可能になる。
• 有限標本における臨界値のバイアスを是正するために、有効なブートストラップアルゴリズムを提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調性、凸性、U字型などの非パラメトリックな形状制約に対して、パラメトリックモデルを仮定せずに一般検定を開発できるか？
• RQ2 検定統計量の漸近的分布をどのように導出し、帰無仮説の下で分布自由にすることができるか？
• RQ3 漸近的臨界値における有限標本近似誤差の影響は何か？ そして、それらはどのように是正できるか？
• RQ4 このクラスの非パラメトリック形状検定に適した有効かつ計算的に実行可能なブートストラップ手順を構築できるか？
• RQ5 ノット密度を増加させるBスpline近似は、形状制約をどのように一貫して捉えるか？

主な発見

• 変換後の検定統計量は、標準ブラウン運動の関数に分布収束するため、解析的臨界値が得られる。
• 真の形状クラス $ \mathcal{M}_0 $ とBスpline近似クラス $ \mathcal{M}_{S_{q,L}} $ のハウスドルフ距離は、$ L \to \infty $ の下でゼロに収束するため、一貫性が保証される。
• 漸近的分布はノイズパラメータに依存しないため、正規性条件の下で帰無仮説の下で分布自由となる。
• 有限標本における臨界値は漸近的分布によってうまく近似されないため、ブートストラップ補正が必要となる。
• 提案されたブートストラップアルゴリズムは有効であり、小標本から中程度の標本サイズにおいてサイズの正確性が向上する。
• バンド幅選択を回避しており、カーネルスムージングに基づく既存の非パラメトリック検定とは対照的に、よりロバストな代替手法を提供する。