[論文レビュー] Testing perfection is hard

Noga Alon, Jacob Fox|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、三角形を含まないことのテストが、三角形除去補題における非定数の境界によって既に知られているように、難しいことから、完全グラフ性のテストが、$\epsilon^{-1}$ に対して超多項式のクエリ複雑性を要することを示すことによって、完全グラフ性の性質のテストが難しいことを確立している。一方で、誘導された $P_3$-フリー性は容易にテスト可能であることが示され、小さなグラフにおける誘導された $H$-フリー性の性質の容易なテスト可能性の分類の重要な部分が完成した。

ABSTRACT

A graph property P is strongly testable if for every fixed ε>0 there is a one-sided ε-tester for P whose query complexity is bounded by a function of ε. In classifying the strongly testable graph properties, the first author and Shapira showed that any hereditary graph property (such as P the family of perfect graphs) is strongly testable. A property is easily testable if it is strongly testable with query complexity bounded by a polynomial function of ε^{-1}, and otherwise it is hard. One of our main results shows that testing perfectness is hard. The proof shows that testing perfectness is at least as hard as testing triangle-freeness, which is hard. On the other hand, we show that induced P_3-freeness is easily testable. This settles one of the two exceptional graphs, the other being C_4 (and its complement), left open in the characterization by the first author and Shapira of graphs H for which induced H-freeness is easily testable.

研究の動機と目的

• グラフ性質のテストフレームワークにおいて、どの遺伝的グラフ性質が容易にテスト可能で、どの性質が難しいかを分類すること。
• 三角形フリー性の既知の難易度と関連付けることによって、完全性のテストが難しいかどうかを特定すること。
• 誘導された $P_3$-フリー性および $C_4$-フリー性の状態を、小さなグラフにおける誘導された $H$-フリー性の容易なテスト可能性の分類において解明すること。
• 特に遺伝的性質に対して、クエリ複雑性の階層を調査すること。
• すべての容易にテスト可能な遺伝的グラフ性質の完全な特徴付けが存在するかどうかを調査すること。

提案手法

• 還元に基づく証明：完全グラフ性のテストが三角形フリー性のテストほど難しいことを示すために、ランダムサンプリングによる完全性の検出が難しいグラフ族を構築する。
• 三角形除去補題の定量的境界、特に $\delta \leq \epsilon^{c \log \epsilon}$ の境界を用いて、クエリ複雑性の下界を確立する。
• 三角形フリーな3部グラフ $T$ から有向グラフ $G$ を構築し、$T$ が三角形フリーから $\epsilon$-遠く離れている場合、$G$ は部分順序集合（poset）からも $\epsilon$-遠く離れていることを示す。
• 拡張可能な遺伝的性質のためのユニバーサル片側 $\epsilon$-テストャーの適用：$d$ 個の頂点をサンプリングし、誘導部分グラフが性質に属する場合にのみ受理する。
• シュレーディンガーの正則性補題とグラフ除去補題を用いて、$H$-フリー性を満たさないグラフの構造を分析する。
• 比較可能性グラフと完全グラフの関係の分析を行い、$\epsilon$-遠さを保つ構成により、比較可能性のテストが三角形フリー性のテストに還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ性質のテストモデルにおいて、完全グラフ性の性質のテストは難しいのか？
• RQ2 誘導された $P_3$-フリー性は容易にテスト可能であり、小さなグラフにおける誘導された $H$-フリー性の容易なテスト可能性の分類を完成させるのか？
• RQ3 誘導された $C_4$-フリー性は容易にテスト可能なのか、それとも同様に難しいのか？
• RQ4 完全性のテストの難易度を、三角形フリー性のテストの難易度に還元できるのか？
• RQ5 すべての容易にテスト可能な遺伝的グラフ性質の完全な特徴付けが存在するのか？

主な発見

• 完全グラフ性の性質のテストは、$\epsilon^{-1}$ に対して超多項式のクエリ複雑性を要するため、難しい。これは三角形フリー性への還元によるものである。
• 三角形除去補題における $\delta \leq \epsilon^{c \log \epsilon}$ の境界に起因する三角形フリー性のテストの難易度が、完全グラフ性のテストの難易度を示唆している。
• 誘導された $P_3$-フリー性は容易にテスト可能であり、$d = O(\epsilon^{-1})$ のクエリで十分なユニバーサル片側テストャーにより、$\epsilon$-遠く離れた $P_3$-フリーでないグラフを区別できる。
• 比較可能性グラフのテストは難しい。これは、$\epsilon$-遠さを保つ構成により、三角形フリー性のテストに還元できるためである。
• 部分順序集合（poset）のテストは、三角形フリー性のテストほど難しいことが、3部グラフから有向グラフへの直接的構成によって示された。
• 誘導された $C_4$-フリー性が容易にテスト可能かどうかは、まだ未解決のままであり、これは小さな $H$ に対する誘導された $H$-フリー性の分類において、唯一の未解決事項である。