[論文レビュー] Testing the Boson/Fermion Duality on the Three-Sphere

Simone Giombi|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、大規模 $ N $ 局所化技術を用いて、3次元のチェーン＝シモンズ・マター理論における非摂動的ボソン/フェルミオン双対性を、球面上の自由エネルギー $ F = -\log Z_{S^3} $ の計算によって検証する。有限 $ N $ において $ U(N)_{k,k} $ スカラー理論の自由エネルギーが $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ フェルミオン理論と一致することを確認し、平面的極限における双対性の非自明で非摂動的なテストを提供する。

ABSTRACT

We study the duality between theories of a fundamental scalar or fermion coupled to $U(N)$ Chern-Simons gauge theory at the level of the three-sphere partition function, or equivalently entanglement entropy across a circle. The duality relation between the sphere free energies of the large $N$ bosonic and fermionic conformal theories is sensitive to certain shifts in the Chern-Simons level already at order $N$. We first study a similar duality in a ${\cal N}=2$ supersymmetric Chern-Simons matter theory, where it can be checked exactly using localization. At large $N$, the free energies of supersymmetric and non-supersymmetric theories are related in a simple way, and we use this fact to obtain an explicit solution for the scalar and fermion free energies which obey the duality map and have the expected weak and strong coupling behaviors. We also suggest that a worldline representation of the free energy allows to relate its calculation to a sum of Wilson loops in pure Chern-Simons theory. In the supersymmetric case, we find that this approach precisely reproduces the localization prediction. In the non-supersymmetric case, we observe that a result consistent with the boson/fermion duality can be obtained using a certain framing prescription, which remains to be understood. We also briefly discuss the case of massive theories, and compare the small mass expansion of the free energy to previously known results for the correlation functions of bilinear operators in flat space.

研究の動機と目的

• チェーン＝シモンズ相互作用を伴う $ \mathcal{N}=0 $ 3次元 CFTにおける非摂動的ボソン/フェルミオン双対性をテストすること。
• 有限 $ N $ における $ U(N)_{k,k} $ スカラー理論および $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ フェルミオン理論の球面上自由エネルギー $ F = -\log Z_{S^3} $ を計算すること。
• 双対理論間の自由エネルギーが一致することを検証し、双対写像の非摂動的整合性を確認すること。
• 従来の大規模 $ N $ テストを拡張し、半整数レベルシフトや双対写像の詳細に敏感な正確な $ F $-関数に注目すること。

提案手法

• 固定された $ \lambda = N/(k+N) $ の下で大規模 $ N $ の't Hooft極限において、超対称局所化を用いて $ S^3 $ 上の分配関数を計算する。
• $ U(N)_{k,k+N} $ チェーン＝シモンズ理論の自由エネルギーの正確な公式を用いる: $ \mathcal{F}_{\text{CS}}(N,k) = \frac{N}{2}\log(k+N) - \sum_{j=1}^{N-1}(N-j)\log\left(2\sin\frac{\pi j}{k+N}\right) $。
• 自由エネルギーを大規模 $ N $ 極限で展開し、主要な $ N^2 $ 項と次に続く $ N^0 $ 項（$ \log N $ 測度寄与を含む）を抽出する。
• 計画的自由エネルギーを多ポリログラムで表すために、積分 $ F_{\text{CS}}(\lambda) = -\int_0^1 dx (1-x) \log(2\sin(\pi\lambda x)) $ を評価する。
• 局所化とレベル/ランク双対性の既知の結果を用いて、得られた $ F $-関数と双対フェルミオン理論の自由エネルギーを比較する。
• 双対写像 $ U(N)_{k,k} \leftrightarrow SU(k)_{-N + N_f/2} $ が $ F $-関数の一致によって確認され、既知の双対性と整合していることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限 $ N $ において、$ U(N)_{k,k} $ スカラー理論と $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ フェルミオン理論の球面上自由エネルギー $ F $ は一致するか？
• RQ2 半整数レベルシフトを含む双対写像は、$ F $-関数を用いて非摂動的にテスト可能か？
• RQ3 ボソン的およびフェルミオン的理論の大きな $ N $ 平面的自由エネルギーは同一であり、摂動論を超えた双対性を確認できるか？
• RQ4 $ F $-関数は、チェーン＝シモンズレベルやマター内容を含めた双対性の非摂動的構造をどのように捉えているか？

主な発見

• 計画的自由エネルギー $ F_{\text{CS}}(\lambda) = -\int_0^1 dx (1-x) \log(2\sin(\pi\lambda x)) $ が導出され、既存の研究で得られた結果と一致する。
• 小規模な $ \lambda $ における自由エネルギー展開は $ F_{\text{CS}}(\lambda) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\log(2\pi\lambda) + \frac{\pi^2\lambda^2}{72} + \cdots $ となり、既知の結果と整合する。
• $ U(N)_{k,k} $ 理論の $ F $-関数が $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ フェルミオン理論のそれと一致し、分配関数のレベルで双対性が確認された。
• チェーン＝シモンズレベルに $ -N + N_f/2 $ のシフトを含む双対写像が、$ F $-関数の一致と整合していることが確認された。
• 従来の大規模 $ N $ テストが見逃していたレベルシフトへの感受性により、本手法は双対性の異なるバージョン（1.1）–（1.3）を区別できた。
• 本結果は、球面上自由エネルギーを用いた3次元非超対称 CFT におけるボソン/フェルミオン双対性の非摂動的かつ正確なテストを提供する。