[論文レビュー] TFT construction of RCFT correlators V: Proof of modular invariance and factorisation

Jens Fjelstad, Jürgen Fuchs+2 more|ArXiv.org|Mar 24, 2005

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、トポロジカル場理論（TFT）アプローチを用いて構成された有理的 conformal field theories（RCFTs）の相関関数が、モジュラー不変であり、バッキングおよび境界因子分解制約を満たすことを証明する。モジュラーテンソルカテゴリとフォン・フォンスキー代数（Jandl代数を含む、非向き付きの曲面に対応）に基づくカテゴリカルな枠組みを用いて、著者らは写像類群作用の下での不変性および、世界シートのカット・グルーピングにおける整合性を確立し、向き付きおよび非向き付きの両方の曲面に対してTFT構成の物理的整合性を確認した。

ABSTRACT

The correlators of two-dimensional rational conformal field theories that are obtained in the TFT construction of [FRSI,FRSII,FRSIV] are shown to be invariant under the action of the relative modular group and to obey bulk and boundary factorisation constraints. We present results both for conformal field theories defined on oriented surfaces and for theories defined on unoriented surfaces. In the latter case, in particular the so-called cross cap constraint is included.

研究の動機と目的

• 向き付きおよび非向き付きの世界シートに対して、TFTアプローチによるRCFT相関関数のモジュラー不変性を確立すること。
• 構成された相関関数がバッキングおよび境界因子分解制約を満たしており、曲面のカット・グルーピングにおいて整合的であることを証明すること。
• Jandl代数とクロスキャップ制約を組み込むことで、TFT枠組みを非向き付き曲面に拡張すること。
• TFT構成がすべての genus およびトポロジーにおいて一貫した、物理的に意味のある相関関数をもたらすことを示すこと。
• モノイダルカテゴリと3次元TFTファンクターを用いて、RCFT相関関数の厳密なカテゴリカルな基礎を提供すること。

提案手法

• 入力構造としてモジュラーテンソルカテゴリ（MTC）を用い、チャイナル代数の表現理論を符号化する。
• 向き付きの曲面に対しては、MTCにおける対称的・特別なフォン・フォンスキー代数 A が、相関関数を定義するための必要なデータを提供する。
• 非向き付きの曲面に対しては、反図形的状態を含む、対合を伴う代数の概念を一般化したJandl代数 Â が用いられる。
• 相関関数は、二重化された曲面にベクトル空間を割り当てるTFTファンクターを介して定義され、これらの空間に相関関数が埋め込まれる。
• 不変性の証明は、トライアングルレーション移動（融合移動およびバブル移動）による写像類群作用の下でのTFT振幅の不変性を示すことにより行われる。
• 不変性は、3次元コボルディズム圏におけるリボングラフの変形と、カテゴリ内のフォン・フォンスキーおよびコアソシエーシビティの代数的恒等式を用いて示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TFTによるRCFT相関関数の構成は、モジュラー群の作用の下でモジュラー不変な相関関数をもたらすか？
• RQ2 構成された相関関数は、世界シートのカット・グルーピングにおいて整合的であり、バッキングおよび境界因子分解を満たすか？
• RQ3 TFT枠組みは、クロスキャップ制約を含む非向き付き世界シートをどのように拡張できるか？
• RQ4 同じ世界シートの異なるトライアングルレーションは、TFT構成において同一の相関関数振幅をもたらすか？
• RQ5 二重化された曲面へのTFTファンクターによる相関関数の割り当ては、すべてのトポロジカルタイプの曲面において一貫しているか？

主な発見

• TFT構成は、相対的モジュラー群の作用の下で不変である相関関数をもたらし、向き付きおよび非向き付きの両方の曲面に対してモジュラー不変性を確認した。
• 相関関数はバッキング因子分解を満たしており、非分離サイクルに沿った曲面のカット時に一貫して分解する。
• 相関関数は境界因子分解を満たしており、境界に平行なサイクルに沿ったカット時にも整合的である。
• トライアングルレーション移動（融合移動およびバブル移動）における不変性は、3次元コボルディズム圏におけるリボングラフ図の同値性を示すことにより証明された。
• 証明は、コアソシエーシビティ、フォン・フォンスキー性、および単位／余単位公理を含む、モジュラーテンソルカテゴリ内の代数的恒等式に依存している。
• 構成は、向き付きおよび非向き付きの両世界シートに対して一貫しており、Jandl代数がクロスキャップ状態に必要な構造を提供している。