[論文レビュー] Théorème d'Eilenberg-Zilber en homologie cyclique entière

Anne Bauval|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、補題を用いて、エイレンバーグ＝ジルバーシャッフルおよびアレクサンダー＝ホイットニー写像の巡回ホモロジー版——$\overline{sh}∞}$ および $\overline{AW}∞}$——を明示的に構成する。これらは、そのホモトピー的逆写像および結合則・コモノイド的ホモトピーを含み、ノルム代数の全巡回ホモロジー複体に連続的に拡張可能であることが示され、$\Omega_{e}(A) \otimes \Omega_{e}(B) \simeq \Omega_{e}(A \otimes B)$ という準同型が得られる。これは漸近的巡回ホモロジー理論において極めて重要である。

ABSTRACT

For simplicial modules, Eilenberg-Zilber's classical theorem states the existence of a product $sh : M\otimes N o M imes N$ (the shuffle) and a coproduct $AW : M imes N o M\otimes N$ (the Alexander-Whitney map), which are quasi-inverse of eachother. A cyclic version of this theorem was established in 1987 by Hood and Jones: they proved that $sh$ and $AW$ admit "coextensions" $sh_\infty$ and $AW_\infty$, using an acyclic-model method. Besides, an explicit formula for $sh_\infty$ has been discovered by several authors. But the question remained open of such an explicit formula for $AW_\infty$, and for the homotopies by which $sh_\infty$ and $AW_\infty$ are mutual quasi-inverses and are quasi-(co)-associative. We present a complete answer to this problem and show that all these -- now explicit -- maps extend continuously to entire cyclic complexes (associated to normed algebras).

研究の動機と目的

• 巡回ホモロジーにおけるアレクサンダー＝ホイットニー写像 $\overline{AW}_{\infty}$ の明示的構成という未解決問題を解消すること。
• $\overline{sh}_{\infty}$ と $\overline{AW}_{\infty}$ が準逆写像かつ準（コ）代数的結合的であることを保証する明示的ホモトピーを提供すること。
• 構成されたすべての写像がノルム代数の全巡回ホモロジー複体に連続的に拡張可能であり、全巡回ホモロジー関手と整合することを証明すること。
• プシュニッガの漸近的巡回ホモロジー理論の簡略化に向けた基盤的ステップを提供すること。

提案手法

• ブラウンの補題を正規化されたエイレンバーグ＝ジルバー写像に適用し、巡回的状況における明示的コ拡張 $\overline{sh}_{\infty}$ と $\overline{AW}_{\infty}$ を構成する。
• 標準的なシャッフル $\overline{sh}$ に加え、巡回的シャッフル $\overline{sh}'$ を明示的に組み込み、一元的に巡回構造を回復する。
• 補題から得られるホモトピーのデータを用いて、$\overline{sh}_{\infty}$ と $\overline{AW}_{\infty}$ が準逆写像かつ準（コ）代数的結合的であることを証明する。
• 反復 $B$-作用の作用素ノルムを、$\Omega_{\varepsilon}(A \otimes B)$ の一般要素に対して評価することで、写像の連続性を確立する。
• 階乗および指数的要因による成長の制御を通じて、すべての写像がノルム代数 $A$ に対応する全巡回ホモロジー複体 $\Omega_{\varepsilon}(A)$ 上で適切に定義され、連続であることを保証する。
• 正規化されていないモジュールへの枠組みの拡張と、代数から任意の巡回モジュールへの一般化が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回ホモロジーにおけるアレクサンダー＝ホイットニー写像 $\overline{AW}_{\infty}$ は、既知の $\overline{sh}_{\infty}$ の公式と同様に明示的に構成可能か？
• RQ2 $\overline{sh}_{\infty}$ と $\overline{AW}_{\infty}$ が準逆写像かつ準（コ）代数的結合的であることを保証する明示的ホモトピーは何か？
• RQ3 明示的写像 $\overline{sh}_{\infty}$ と $\overline{AW}_{\infty}$ は、ノルム代数 $A$ の全巡回ホモロジー複体 $\Omega_{\varepsilon}(A)$ に連続的に拡張可能か？
• RQ4 補題を用いて、全巡回ホモロジーにおけるエイレンバーグ＝ジルバー定理の連続的で明示的なモデルを導出可能か？

主な発見

• 論文は、アレクサンダー＝ホイットニー写像のコ拡張として $\overline{AW}_{\infty}$ の明示的公式を提供し、巡回的エイレンバーグ＝ジルバー定理における欠落していた部分を完成させる。
• 写像 $\overline{sh}_{\infty}$ のホモトピー的逆写像が明示的に構成され、必要なホモトピー関係を満たすことが証明されている。
• $\overline{sh}_{\infty}$ と $\overline{AW}_{\infty}$ が準（コ）代数的結合的であることが示され、補題から得られる明示的ホモトピーが導出された。
• $\Omega_r(A \otimes B)$ 上での $\sum_{k>0} (\varphi B)^k$ の作用素ノルムは、$C \cdot (4LMr)^n / \sqrt{n!}$ で有界であり、$C$ は $K, L, M$ に依存する。$r \to 0$ のときこの有界性は $0$ に収束するため、連続性が証明される。
• 全巡回ホモロジー複体 $\Omega_{\varepsilon}(A)$ が写像によって保存され、連続的拡張により準同型 $\Omega_{\varepsilon}(A) \otimes \Omega_{\varepsilon}(B) \simeq \Omega_{\varepsilon}(A \otimes B)$ が確立される。
• 構成により、全巡回ホモロジーにおけるエイレンバーグ＝ジルバー定理の連続的で明示的かつ準同型的なモデルが得られ、漸近的巡回ホモロジー理論への応用が可能になる。