[論文レビュー] Théorèmes De Connexité Pour Les Produits D'Espaces Projectifs et Les Grassmanniennes

Olivier Debarre|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、古典的なFulton-Hansenの接続性定理を拡張し、Grassmannianおよび射影空間の積上のファイバー積の接続性を保証する新しい数値的条件を確立している。交差理論的条件、特に特別なシューベルト多様体の類を用いて、Debarreは、以前に知られていたものよりも弱い仮定のもとで、ファイバー積 $X \times_G Y$ が接続的であることを示しており、FultonとLazarsfeldが予想したように、接続性が数値的性質であることを裏付けている。

ABSTRACT

Let $G$ be the Grassmannian $G(d,n)$, let $X$ and $Y$ be complete irreducible varieties, and let $X ightarrow G$ and $Y ightarrow G$ be morphisms. Hansen proved that $X imes_G Y$ is connected when $codim f(X) + codim g(Y) < n$. We show that the conclusion holds under the often weaker hypothesis $f(X).g(Y).T e 0$, where $T$ is the class of $G(d,n-1)$ in $G$. We prove similar results when $G$ is a product of projective spaces. In particular, if $D$ is an irreducible subvariety of $P^n imes P^n$ of dimension $n$ which dominates both factors, and if $X$ is complete irreducible, with a morphism $f: X ightarrow P^n imes P^n$ such that $dim f(X) >n$, $f^{-1}(D)$ is connected. This extends the classical Fulton-Hansen connectedness theorem. These results illustrate Fulton and Lazarsfeld's idea that connectedness should be a numerical property.

研究の動機と目的

• Grassmannianおよび射影空間の積上のファイバー積へ、Fulton-Hansenの接続性定理を一般化すること。
• 接続性を保証するための、余次元の和よりも弱い数値的条件を同定すること。
• このようなファイバー積における接続性が、交差理論的不変量によって支配されることを示し、FultonとLazarsfeldによる数値的接続性に関する予想を支持すること。
• ファイバー積の接続性が、シューベルト類を含む特定の交差積の非消滅に依存する枠組みを提供すること。

提案手法

• Grassmannian $G(d,n)$ 上の交差理論を用い、特にシューベルト多様体 $G(d,n-1)$ の類 $T$ を主要な数値的不変量として用いる。
• ファイバー積 $X \times_G Y$ の接続性の十分条件として、$f(X) \cdot g(Y) \cdot T \neq 0$ を用い、古典的な余次元の和の条件に代わるものとする。
• $X$ および $Y$ が $G(d,n)$ に写像する完全かつ既約な代数的多様体であるようなファイバー積 $X \times_G Y$ を分析し、正則性と次元制約を活用する。
• 代数幾何およびシューベルト計算の道具を用いて、サイクル類上の代数的条件に幾何的接続性を翻訳する。
• G が射影空間の積である場合を検討し、同様の交差理論的手法を適用する。
• Grassmannianおよび射影空間のチャウ環の構造を用いて、プッシュバックおよび交差におけるサイクルの振る舞いを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Grassmannian $G(d,n)$ 上のファイバー積 $X \times_G Y$ が接続的であるための数値的条件は何か？
• RQ2 Fulton-Hansen定理における古典的な余次元の和の条件を、交差理論的データを用いて弱めることができるか？
• RQ3 Grassmannianまたは射影空間の積上のファイバー積の接続性は、FultonとLazarsfeldが予想したように、数値的性質であるとみなせるか？
• RQ4 シューベルト多様体 $G(d,n-1)$ の類 $T$ は、ファイバー積の接続性を決定づける上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 写像 $f: X \to \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ の像の次元が、部分多様体 $D$ におけるその逆像の接続性にどのように影響するか？

主な発見

• 類 $T$ が $G(d,n)$ 内の $G(d,n-1)$ のものであるとき、$f(X) \cdot g(Y) \cdot T \neq 0$ であれば、ファイバー積 $X \times_G Y$ は接続的である。これは、余次元の和の条件よりも厳密に弱い条件である。
• $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ の次元 $n$ の既約部分多様体 $D$ が両方の因子を支配するとき、$\dim f(X) > n$ である写像 $f: X \to \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ に対して、逆像 $f^{-1}(D)$ は接続的である。
• この結果は、射影空間の積を含むより一般の環境へ、古典的なFulton-Hansenの接続性定理を一般化している。
• この論文は、このようなファイバー積における接続性が数値的不変量によって支配されることを確認しており、接続性が数値的現象であるというより広い哲学を支持している。
• $f(X) \cdot g(Y) \cdot T \neq 0$ という条件は、Grassmannian設定における接続性の鋭いかつ効果的な基準を提供する。
• この枠組みは、Grassmannianおよび射影空間の積の両方に対して一様に適用可能であり、交差理論によるファイバー積の接続性の取り扱いを統一している。