[論文レビュー] Théorie ergodique et géométrie arithmétique

Emmanuel Ullmo|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、エルゴディック理論を用いて代数的多様体上の算術的点の等分布性を確立し、特にアーベル多様体上の小高さ点とシムーラ多様体上のヘッケ軌道に焦点を当てる。一般の小高さ点の列が正規化されたハール測度に関して等分布することを証明し、マンイン＝マッファーソン予想の新たな証明を提供するとともに、ラトナー理論とスペクトル論を用いてアンドレ＝オールト予想の進展を図る。

ABSTRACT

We will present several examples in which ideas from ergodic theory can be useful to study some problems in arithmetic and algebraic geometry.

研究の動機と目的

• アラケロフ幾何とエルゴディック理論を用いて、特にネロン＝タート高さが小さい点のアーベル多様体上での等分布性を確立すること。
• 半単純代数的群に関連する対称空間上のヘッケ軌道への等分布性結果を拡張すること。
• 自己同型形式理論と解析的数論を結びつける枠組みを構築し、シムーラ多様体上のCM点の等分布性を理解すること。
• ラトナー理論とユニポテンツフロー技術を用いて、シムーラ多様体内の強特別部分多様体の等分布性を証明すること。
• アンドレ＝オールト予想の文脈において、特別部分多様体のザリスキ閉包が特別部分多様体の有限個の和集合であるという幾何的帰結を示すこと。

提案手法

• アラケロフ幾何を用いてアーベル多様体上の小高さ点を定義・制御し、算術的高さと測度論的等分布性を結びつける。
• 自動形式のスペクトル論および表現論を応用し、局所的対称空間 $\Gamma\backslash G(\mathbb{R})$ 上のヘッケ軌道の等分布性を分析する。
• ユニポテンツフローに関するラトナーの定理を用いて、$\tilde{S} = \Gamma^+ \cap H\backslash H$ 上の不変測度の弱収束を示し、$S = \Gamma\backslash G(\mathbb{R})$ 上での等分布性を導く。
• ダニとマルギュリスの結果（ユニポテンツフローがコンパクト集合に戻ること）を用いて、軌道の幾何を制御し、収束を保証する。
• モズ＝シャーの定理を応用し、適切な条件下で $\tilde{S}$ 上の不変測度 $\mu_{H_n}$ が極限測度 $\mu_H$ に収束することを証明する。
• 対称空間上の標準測度の理論と、これらの測度が群作用に関して不変であることに依拠し、等分布性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴディック理論をどのように用いてアーベル多様体上の小高さ点の等分布性を証明できるか？
• RQ2 数体上での非CM楕円曲線の小高さ点のガロア軌道は、どのように等分布するか？
• RQ3 対称空間 $\Gamma\backslash G(\mathbb{R})$ 上のヘッケ軌道はどのように等分布するか？ そして、これを制御するスペクトル的技法は何か？
• RQ4 ラトナー理論をシムーラ多様体の部分多様体に応用することで、特別点の等分布性を証明するにはどの程度適用可能か？
• RQ5 アンドレ＝オールト予想の文脈において、特別部分多様体の等分布性結果から生じる幾何的帰結は何か？

主な発見

• $\mathbb{G}_m$ 内の $n$ 乗単位根の列は、単位円上の正規化されたハール測度に関して等分布する。
• 非CM楕円曲線の $n$-torsion 点は、複素トーラス上の正規化されたハール測度に関して等分布する。
• 任意の数体上のアーベル多様体 $A$ に対して、ネロン＝タート高さが 0 に近づく任意の一般の点列は、各複素ファイバー $A_\sigma(\mathbb{C})$ 上で正規化されたハール測度に関して等分布する。
• アラケロフ理論とシュピロ、ウルモ、チャンの研究を用いて、アーベル多様体上の小高さ点のガロア軌道が同じ測度に関して等分布することが示された。
• ヘッケ軌道の確率測度は、適切な条件下で弱収束し、$G$-不変測度に等分布する。これはスペクトル論によって確立された。
• ラトナー理論を用いて、シムーラ多様体内の強特別部分多様体に関連する測度が、標準的 $H$-不変測度に等分布することを証明し、アンドレ＝オールト予想を支援した。