[論文レビュー] The 1/2 BPS 't Hooft loops in N=4 SYM as instantons in 2d Yang-Mills

Simone Giombi, Vasily Pestun|ArXiv.org|Sep 23, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、4次元 $χ=4$ SYMにおける1/2 BPS 't Hooft ループと、$S^2$ 上の2次元ヤン・ミルズ理論におけるインスタントンの間に双対性を確立し、局在化を用いて4次元経路積分を2次元理論に写像する。主な結果は、エルミート多項式およびラゲール多項式を用いて導かれる、1/2 BPS 't Hooft ループとウィルソンループの相関関数の正確な表現であり、これは $S$-双対性不変性を示し、弱い結合定数領域での摂動的量子場理論の結果とも一致する。

ABSTRACT

We extend the recent conjecture on the relation between a certain 1/8 BPS subsector of 4d N=4 SYM on S^2 and 2d Yang-Mills theory by turning on circular 1/2 BPS 't Hooft operators linked with S^2. We show that localization predicts that these 't Hooft operators and their correlation functions with Wilson operators on S^2 are captured by instanton contributions to the partition function of the 2d Yang-Mills theory. Based on this prediction, we compute explicitly correlation functions involving the 't Hooft operator, and observe precise agreement with S-duality predictions.

研究の動機と目的

• 4次元 $χ=4$ SYMにおける1/2 BPS 't Hooft ループと、$S^2$ 上の2次元ヤン・ミルズ理論におけるインスタントンとの間の明確な対応関係を確立すること。
• 同じ理論内における1/2 BPS 't Hooft ループと1/2 BPS ウィルソンループの正確な量子相関関数を計算すること。
• 得られた相関関数が、$χ=4$ SYMの予想される双対性対称性に従い、$S$-双対性不変性を示していることを検証すること。
• 弱い結合定数領域における摂動的量子場理論計算と比較することで、$S$-双対性の非摂動的テストを提供すること。

提案手法

• 4次元 $χ=4$ SYMの経路積分を $S^4$ 上で局在化し、1/8 BPS状態に有効な2次元ヤン・ミルズ理論への還元。
• 局在化フレームワークを用いて4次元の't Hooft ループを2次元ヤン・ミルズ理論のインスタントンに写像し、インスタントン数が磁気荷に対応することを示す。
• ガウス測度の下で直交多項式（特にエルミート多項式）を用いて2次元経路積分を評価し、分配関数および相関関数を計算する。
• 行列模型表現における固有値に関する積分を評価するため、エルミート多項式とラゲール多項式の関係式を適用する。
• 物理的期待値を抽出するために、0インスタントン分配関数による正規化を行う。
• 結合定数 $g_{4d}^2 \to 16\pi^2/g_{4d}^2$ の下での不変性を確認することで、$S$-双対性不変性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $χ=4$ SYMにおける1/2 BPS 't Hooft ループは、どのように低次元理論におけるインスタントンとして実現されるか？
• RQ2 $χ=4$ SYMにおける1/2 BPS 't Hooft ループと1/2 BPS ウィルソンループの相関関数の正確な形は何か？
• RQ3 得られた相関関数は、$\tau \to -1/\tau$ の下で期待される $S$-双対性不変性を示すか？
• RQ4 正確な結果は、弱い結合定数領域における摂動的量子場理論計算とどのように比較されるか？
• RQ5 最小表現（minuscule representation）は、双対写像の有効性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 1/2 BPS 't Hooft ループと1/2 BPS ウィルソンループの正確な相関関数は、結合定数 $g_{4d}^2$ およびその $S$-双対 $16\pi^2/g_{4d}^2$ を含む、ラゲール多項式およびエルミート多項式の組み合わせとして導出された。
• 最終的な結果（式 (7.5)）は $S$-双対性不変であり、't Hooft ループがウィルソンループに、逆にウィルソンループが't Hooft ループに写像されることを確認した。
• 弱い結合定数領域における展開（式 (7.7)）は、経路積分におけるインスタントン支配的性質と整合し、指数的抑制が見られる。
• 正規化された相関関数 $\langle T_F W_F \rangle / \langle T_F \rangle$ は摂動的量子場理論と一致する：古典的項は $(N-2)/N$、1ループ補正項は $(N-2)g_{4d}^2$ であり、対角および非対角プロパゲーター・ブロックから生じる。
• 結果から、't Hooft ループの背景が $U(N)$ を $U(N-1)\times U(1)$ に破Symmetryすること、および1段階図の寄与が正しく再現されることを確認した。
• 1/8 BPSの場合に非自明な2次元インスタントン寄与が存在しないことは、本稿の1/2 BPS結果と整合しており、1/2 BPSループはより高い超対称性を保ち、正確な計算が可能であることを示している。