[論文レビュー] The 1/k-Eulerian polynomials and k-Stirling permutations

Shi-Mei Ma, Toufik Mansour|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、1/k-オイラー多項式 $A_n^{(k)}(x)$ と k-スターリング順列の間の組合せ的関係を確立し、$k$-スターリング順列の順序 $n$ における最も長い上昇・平坦部の位置の数を $A_n^{(k)}(x)$ が数えることを示している。著者らは生成関数と一致する再帰的関係を用いてこれを証明し、さらに双対多項式 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$ が 0 を含む拡張された $k$-スターリング順列と関連することを示した。本研究は、古典的順列統計と一般化されたスターリングおよびオイラー構造を統一する。

ABSTRACT

In this paper, we establish a connection between the 1/k-Eulerian polynomials introduced by Savage and Viswanathan (Electron. J. Combin. 19(2012), P9) and k-Stirling permutations. We also introduce the dual set of Stirling permutations.

研究の動機と目的

• 1/k-オイラー多項式 $A_n^{(k)}(x)$ の $k$-スターリング順列に基づく組合せ的解釈を確立すること。
• 両者 $A_n^{(k)}(1)$ と $k$-スターリング順列の個数が共に $\prod_{i=1}^{n-1}(ik+1)$ に等しいことから、$A_n^{(k)}(x)$ が $k$-スターリング順列と関係するかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 先頭に 0 を含む $k$-スターリング順列の双対集合を定義し、その生成関数が $x^n A_n^{(k)}(1/x)$ と一致することを示すこと。
• $k$-スターリング順列に変換 $\Phi$ を適用することで、古典的順列統計—内部峰、左峰、交互な走り—を統一すること。これにより、$A_n^{(k)}(x)$ や関連多項式と結びつける。

提案手法

• $k$-スターリング順列を、$\{1^k, 2^k, \dots, n^k\}$ の順列として定義し、二つの $i$ の間の要素が $\geq i$ であるものとし、その集合を $\mathcal{Q}_n(k)$ と表す。
• ${\rm ap\,}(\sigma)$ を、$\sigma_{i-1} < \sigma_i = \sigma_{i+1} = \cdots = \sigma_{i+k-1}$ を満たす位置の数として定義する。
• $A_n^{(k)}(x)$ の係数が、$j$ 個の最も長い上昇・平坦部を持つ $k$-スターリング順列の個数と同一の再帰的関係を満たすことを証明する：$T(n+1,j;k) = (1+kj)T(n,j;k) + k(n-j+1)T(n,j-1;k)$。
• $\mathcal{Q}_n^0(k)$ を $\{0\sigma \mid \sigma \in \mathcal{Q}_n(k)\}$ と定義し、双対的再帰を用いて $x^n A_n^{(k)}(1/x) = \sum_{\sigma \in \mathcal{Q}_n^0(k)} x^{{\rm ap\,}(\sigma)}$ を示す。
• $k$-スターリング順列に変換 $\Phi$ を適用し、$\mathfrak{S}_{2n}$ 内の順列に写像する。この写像により、像における内部峰と左峰がそれぞれ $A_n^{(k)}(x)$ と $x^n A_n^{(k)}(1/x)$ に対応することを示す。
• $ (1+x)C_n(x) = x A_n^{(2)}(x^2) + x^{2n} A_n^{(2)}(1/x^2) $ を用いて $C_n(x)$ を定義し、$\Phi(\mathcal{Q}_n)$ 内の交互な走りの個数を数えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1/k-オイラー多項式 $A_n^{(k)}(x)$ は、$k$-スターリング順列に基づく組合せ的解釈を持つだろうか？
• RQ2 $A_n^{(k)}(x)$ の再帰的関係は、$k$-スターリング順列への挿入規則として解釈可能だろうか？
• RQ3 変換 $\Phi$ の像における内部峰と左峰の統計は、双対多項式 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$ とどのように関係するか？
• RQ4 変換 $\Phi$ は、$k$-スターリング順列と交互な走りなどの順列統計を結びつける役割を果たすだろうか？
• RQ5 生成関数 $C_n(x)$ は、$k$-スターリング順列から導かれる特定の順列クラスにおける交互な走りの個数を数えると解釈可能だろうか？

主な発見

• 1/k-オイラー多項式 $A_n^{(k)}(x)$ は、$k$-スターリング順列における最も長い上昇・平坦部の位置の数の母関数に等しい：$A_n^{(k)}(x) = \sum_{\sigma \in \mathcal{Q}_n(k)} x^{{\rm ap\,}(\sigma)}$。
• 双対多項式 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$ は、0 を含む拡張された $k$-スターリング順列における最も長い上昇・平坦部の位置の数の母関数に等しい：$x^n A_n^{(k)}(1/x) = \sum_{\sigma \in \mathcal{Q}_n^0(k)} x^{{\rm ap\,}(\sigma)}$。
• $k=2$ の場合、多項式 $A_n^{(2)}(x)$ は $\Phi(\mathcal{Q}_n)$ の内部峰の個数を数え、$x^n A_n^{(2)}(1/x)$ は左峰の個数を数える。
• $ (1+x)C_n(x) = x A_n^{(2)}(x^2) + x^{2n} A_n^{(2)}(1/x^2) $ を用いて定義される多項式 $C_n(x)$ は、$\Phi(\mathcal{Q}_n)$ 内の交互な走りの個数を数える。すなわち、$C_n(x) = \sum_{\pi \in \Phi(\mathcal{Q}_n)} x^{{\rm run\,}(\pi)}$。
• 最初のいくつかの $C_n(x)$ は対称的かつ単峰的である：$C_1(x) = x$、$C_2(x) = x + x^2 + x^3$、$C_3(x) = x + 3x^2 + 7x^3 + 3x^4 + x^5$ などであり、係数は既知の数列 A059427 および A185410 と一致する。