[論文レビュー] The $1/N$ expansion for SO(N) lattice gauge theory at strong coupling

Sourav Chatterjee, Jafar Jafarov|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2016

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 27被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、任意の次元における強い結合定数領域（$\beta \to 0$）における$SO(N)$格子ゲージ理論におけるウィルソン環期待値の$1/N$展開を厳密に定式化し、証明する。展開の各項は、格子ストリング理論におけるストリング軌道の和として表現され、これは genus-0 表面が主要項に対応し、高次の項が高 genus 表面に対応するゲージ-ストリング双対性を確立する。

ABSTRACT

The $1/N$ expansion is an asymptotic series expansion for certain quantities in large-$N$ lattice gauge theories. This article gives a rigorous formulation and proof of the $1/N$ expansion for Wilson loop expectations in SO(N) lattice gauge theory in the strong coupling regime in any dimension. The terms in the expansion are expressed as sums over trajectories of strings in a lattice string theory, establishing an explicit gauge-string duality. The trajectories trace out surfaces of genus zero for the first term in the expansion, and surfaces of higher genus for the higher terms.

研究の動機と目的

• $SO(N)$格子ゲージ理論における強い結合定数領域でのウィルソン環期待値の$1/N$展開を、厳密に定式化し、証明すること。
• 展開の各項を格子ストリング理論におけるストリングの軌道の和として表現することにより、明確なゲージ-ストリング双対性を確立すること。
• ストリング軌道の位相的構造を同定し、主要項が genus-0 表面に対応し、高次の項が高 genus 表面に対応することを示すこと。
• 特に強い結合定数領域において、摂動的またはヒューリスティックな手法にとどまらない、大$N$行動の理解を拡張すること。

提案手法

• 結合定数$\beta \to 0$の強い結合定数領域において、$N$の逆数の整数べきにおける体系的な展開を用いて、ウィルソン環期待値の$1/N$展開を導出する。
• 展開の各項を、genus や自己交差構造などの位相的不変量でラベルされたストリング配置の和として表現する。
• ストリング配置を基本的な動き（生成、消滅、分裂、結合）に分解する再帰的構造を用い、状態間の遷移ルールで記述する。
• 結合定数$\beta$と位相的制約を組み込んだ重み関数$w_\beta(X)$をストリング軌道$X$に対して定義し、genus $i$ と $k$ 条の辺を持つ配置の総重み$T_{\beta,i,k}(s)$の再帰関係を導出する。
• 辺の数と genus についての帰納法を用い、辺の順序入れ替えや向きの反転に対する対称性と不変性を活用して、係数の閉形式表現を導出する。
• 主要項が genus-0 表面に対応することを示すことにより、$1/N$展開とストリング理論との間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SO(N)$格子ゲージ理論におけるウィルソン環期待値の$1/N$展開は、任意の次元において強い結合定数領域で厳密に定式化され、証明可能か？
• RQ2 展開の各項は、格子ストリング理論におけるストリングの軌道に対応するか？ もしそうであれば、その軌道の位相的構造は何か？
• RQ3 大$N$極限における$SO(N)$格子ゲージ理論が格子上のストリング理論に正確に対応する、明確なゲージ-ストリング双対性が存在するか？
• RQ4 ストリング軌道の位相的不変量（例：genus）は、$1/N$展開の次数とどのように関係するか？
• RQ5 ストリング配置における再帰的関係を用いて、展開を体系的に計算可能か？

主な発見

• $SO(N)$格子ゲージ理論におけるウィルソン環期待値の$1/N$展開は、任意の次元$d \geq 2$において、厳密に定式化され、証明された。
• 展開の各項は、格子ストリング理論におけるストリング軌道の和として表現され、最初の項は genus-0 表面に対応する。
• 高次の項は、次第に genus が増加するストリング軌道が描く表面に対応し、展開の項が明示的な位相的分類を持つことを確立する。
• 係数は、ストリング配置$X$における重み$w_\beta(X)$の和として与えられ、genus と辺の数に依存する再帰関係を持つ。
• 主要項（$O(1/N^0)$）は genus-0 ストリング軌道に対応し、展開の構造はストリング世界面の genus に関する体系的な位相的展開を反映している。
• 総重み$T_{\beta,i,k}(s)$の再帰関係は、展開が期待される$1/N$スケーリングと位相的構造と整合していることを確認しており、係数$a_{i,k}(s)$は genus-$i$、$k$ 条の辺の寄与を捉えている。