[論文レビュー] The 2-local Hamiltonian problem encompasses NP

Paweł Wocjan, Thomas Beth|ArXiv.org|Jan 17, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2局所ハミルトニアン問題がNP完全であることを示している。MAX CUTおよびINDEPENDENT SETという2つの古典的NP完全問題を、キュービットベースのスピンエコー符号化を用いて2局所ハミルトニアンに還元することで達成されている。主な結果は、2局所ハミルトニアンが任意のNP問題を符号化できることであり、これは量子計算複雑性クラスBQNPがNPに含まれることを示唆し、2局所ハミルトニアン問題がNPに属する最も難しい問題と同程度の難易度であることを示している。

ABSTRACT

We show that the NP complete problems MAX CUT and INDEPENDENT SET can be formulated as the 2-local Hamiltonian problem as defined by Kitaev. He introduced the quantum complexity class BQNP as the quantum analog of NP, and showed that the 5-local Hamiltonian problem is BQNP-complete. It is not known whether the s-local Hamiltonian problem is BQNP-complete for s smaller than 5. Therefore it is interesting to determine what problems can be reduced to the s-local Hamiltonian problem. Kitaev showed that 3-SAT can be formulated as a 3-local Hamiltonian problem. We extend his result by showing that 2-locality is sufficient in order to encompass NP.

研究の動機と目的

• 量子複雑性理論の文脈において、2局所ハミルトニアン問題の計算複雑性を特定すること。
• NP完全問題が2局所ハミルトニアン問題に還元可能かどうかを調査すること。これは、量子計算分野における中心的未解決問題である。
• Kitaevの先行研究（3-SATが3局所ハミルトニアンとして符号化可能である）を拡張し、NP完全性を達成するのに2局所性が十分であることを示すこと。
• キュービット符号化を用いて、古典的NP問題と量子ハミルトニアン基底状態エネルギー問題との直接的な関連を確立すること。
• 2局所ハミルトニアン問題が、NPに属する最も難しい問題と同程度の難易度であることを示し、量子複雑性クラスに関する理解のギャップを埋めること。

提案手法

• グラフの各頂点を、計算基底状態|0⟩と|1⟩が頂点への二値割り当てを表すキュービットとして符号化する。
• 射影演算子を用いて2局所ハミルトニアンを構築する：MAX CUTには$ P_{even} = |00\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11| $を、INDEPENDENT SETには$ P_0 = |0\rangle\langle0| $、$ P_{11} = |11\rangle\langle11| $を用いる。
• ハミルトニアンを辺の和で定義する：MAX CUTでは$ H = \sum_{(k,l)\in E} P_{even}[k,l] $、INDEPENDENT SETでは$ H = \sum_{k\in V} P_0[k] + \sum_{(k,l)\in E} P_{11}[k,l] $である。
• 各計算基底状態のエネルギーを、古典的問題の目的関数（カット重みまたは独立集合のサイズ）にマッピングする。
• プロミスギャップパラメータを$ a = |E| - w + 0.5 $、$ b = a + 0.25 $（MAX CUT用）および$ a = |V| - v + 0.5 $、$ b = a + 0.25 $（INDEPENDENT SET用）と設定し、非自明なプロミスギャップを保証する。
• 所定のサイズのカットまたは独立集合の存在が、ハミルトニアンの低エネルギー固有状態の存在に相当することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP完全問題は2局所ハミルトニアン問題として符号化可能か？
• RQ2 2局所ハミルトニアン問題は、NPに属する最も難しい問題と同程度の難易度か？
• RQ3 MAX CUTおよびINDEPENDENT SET問題は、キュービット符号化を用いて2局所ハミルトニアンに還元可能か？
• RQ4 2局所性が、量子ハミルトニアンフレームワーク内でのNPの完全な複雑性を捉えるのに十分か？
• RQ5 s局所ハミルトニアン問題がNP完全となる最小の局所性（s）は何か？

主な発見

• MAX CUTからの多項式時間還元により、2局所ハミルトニアン問題がNP完全であることが示された。
• 還元には2局所ハミルトニアン$ H = \sum_{(k,l)\in E} P_{even}[k,l] $が用いられ、ここで$ P_{even} $はキュービットkとlが同じ値を取る状態に射影する。
• グラフに重みが$ w $以上のカットが存在するための必要十分条件は、ハミルトニアンの固有値が$ \leq |E| - w $であることである。これは$ a = |E| - w + 0.5 $および$ b = a + 0.25 $と設定することで達成される。
• INDEPENDENT SET問題も2局所ハミルトニアン$ H = \sum_{k\in V} P_0[k] + \sum_{(k,l)\in E} P_{11}[k,l] $に還元可能であり、ここで$ P_0 $は|1⟩状態のキュービットをペナルティ処理し、$ P_{11} $はエンタングルド|11⟩ペアをペナルティ処理する。
• サイズが$ v $以上の独立集合の存在は、ハミルトニアンの固有値が$ \leq |V| - v $であることに対応し、同じプロミスギャップパラメータにより非自明なプロミスギャップが保証される。
• プロミスギャップ$ b - a = 0.25 > n^{-2} $はすべての$ n \geq 3 $で成立し、局所ハミルトニアン問題における非無視可能なプロミスギャップの要件を満たしている。