[論文レビュー] The 4-Adic Complexity of A Class of Quaternary Cyclotomic Sequences with Period 2p

Shiyuan Qiang, Yan Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}_{4^N - 1}$ 内の新しい2次ガウス和 $G_p$ を用いて、周期 $2p$ の四元体巡回的系列の4-adic複雑度を決定する。$5 \nmid p-2$ のとき、4-adic複雑度は最大値 $\log_4(4^N - 1)$ に達し、それ以外の場合は $\log_4\left(\frac{4^N - 1}{5}\right)$ となることが示され、暗号的応用においてほぼ最適な複雑度を実現している。

ABSTRACT

In cryptography, we hope a sequence over $\mathbb{Z}_m$ with period $N$ having larger $m$-adic complexity. Compared with the binary case, the computation of 4-adic complexity of knowing quaternary sequences has not been well developed. In this paper, we determine the 4-adic complexity of the quaternary cyclotomic sequences with period 2$p$ defined in [6]. The main method we utilized is a quadratic Gauss sum $G_{p}$ valued in $\mathbb{Z}_{4^N-1}$ which can be seen as a version of classical quadratic Gauss sum. Our results show that the 4-adic complexity of this class of quaternary cyclotomic sequences reaches the maximum if $5 mid p-2$ and close to the maximum otherwise.

研究の動機と目的

• 周期 $2p$ の四元体巡回的系列の4-adic複雑度を特定すること。
• 二進系列とは異なり、四元体系列における4-adic複雑度を計算するための発展した手法の不足に応えること。
• 提案された系列が、暗号的セキュリティにとって極めて重要な近似最大の4-adic複雑度を達成することを確立すること。
• 鍵となる分析的ツールとして、$\mathbb{Z}_{4^N - 1}$ 内の修正された2次ガウス和 $G_p$ を導入し、それを用いること。

提案手法

• 周期 $2p$ の四元体系列 $A$ を $\mathbb{Z}_4$ 上に、$2p$ を法とする巡回的クラスとリーマン記号による分割に基づいて定義する。
• 古典的2次ガウス和のバージョンとして、4-adicガウス和 $G_p = \sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) 4^{2a} \mod (4^N - 1)$ を導入する。
• $S_A(4) = \sum_{i=0}^{N-1} a(i) 4^i$ として表される4-adic複雑度生成子を、$4^N - 1$ を法として $G_p$ で表現する。
• $\gcd(S_A(4), 4^N - 1)$ を、$d_+ = \gcd(S_A(4), 4^p + 1)$ と $d_- = \gcd(S_A(4), 4^p - 1)$ に分割して分析する。
• リーマン記号の性質とモジュラー算術を用いて、特に5の割り切れる性質および $\ell \geq 5$ の素因数について、$d_+$ と $d_-$ を評価する。
• $5 \mid p-2$ のとき $d_+ = 5$、それ以外のとき $d_+ = 1$ であることが示され、$d_- = 1$ は常に成り立つ。これにより、最終的な複雑度式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期 $2p$ の四元体巡回的系列の4-adic複雑度は何か？
• RQ2 $p \equiv 2 \pmod{5}$ のとき、4-adic複雑度は他の素数と比べてどのように振る舞うか？
• RQ3 $\mathbb{Z}_{4^N - 1}$ 内の修正された2次ガウス和を用いて、このような系列の4-adic複雑度を計算できるか？
• RQ4 この系列の4-adic複雑度は理論的最大値に近いか？
• RQ5 素数5は複雑度の値を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 5 \nmid p - 2 のとき、四元体巡回的系列の4-adic複雑度は最大値 $\log_4(4^N - 1)$ に達する。
• 5 \mid p - 2 のとき、4-adic複雑度は $\log_4\left(\frac{4^N - 1}{5}\right)$ となり、最大値に非常に近い。
• $d = \gcd(S_A(4), 4^N - 1)$ は、5 \nmid p - 2 のとき1、5 \mid p - 2 のとき5であり、これが複雑度のレベルを決定する。
• 解析により、すべての奇素数 $p$ に対して $d_- = \gcd(S_A(4), 4^p - 1) = 1$ であることが確認され、この成分による複雑度の追加低下は生じない。
• $\mathbb{Z}_{4^N - 1}$ 内のガウス和 $G_p$ は、古典的2次ガウス和と類似した性質を満たし、$S_A(4)$ の導出を可能にする。
• 結果として、$p \not\equiv 2 \pmod{5}$ のとき、高い4-adic複雑度のおかげで系列は暗号的性質が強く、特に優れた性能を示すことが示された。