[論文レビュー] The A-infinity Centre of the Yoneda Algebra and the Characteristic Action of Hochschild Cohomology on the Derived Category

Benjamin Briggs, Vincent Gélinas|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$A_{u}$-中心をヤオダ代数の次数中心の強化として導入し、特徴的写像$\chi_M: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(M,M)$が、正確にこの$A_{\infty}$-中心に値をとることを示している。主な結果は、増分dg代数に対して、$\chi_k$が$\mathrm{Ext}_A(k,k)$の$A_{\infty}$-中心へ全射であることを証明することで、ブルーツァイツ、グリーン、スナシャール、ソルバーグのコーサル双対性定理を一般化し、自由ループ空間および交差写像を通じてトポロジーへの応用をもたらす。

ABSTRACT

For A a dg (or A-infinity) algebra and M a module over A, we study the image of the characteristic morphism $χ_M: HH^*(A, A) o Ext_A(M, M)$ and its interaction with the higher structure on the Yoneda algebra $Ext_A(M, M)$. To this end, we introduce and study a notion of A-infinity centre for minimal A-infinity algebras, agreeing with the usual centre in the case that there is no higher structure. We show that the image of $χ_M$ lands in the A-infinity centre of $Ext_A(M, M)$. When A is augmented over k, we show (under mild connectedness assumptions) that the morphism $χ_k: HH^*(A, A) o Ext_A(k,k)$ into the Koszul dual algebra lands exactly onto the A-infinity centre, generalising the situation from the Koszul case established by Buchweitz, Green, Snashall and Solberg. We give techniques for computing A-infinity centres, hence for computing the image of the characteristic morphism, and provide worked-out examples. We further study applications to topology. In particular we relate the A-infinity centre of the Pontryagin algebra to a wrong way map coming from the homology of the free loop space, first studied by Chas and Sullivan.

研究の動機と目的

• 次数中心を超えて、$\mathrm{Ext}_A(M,M)$に$A_{\infty}$-構造が存在する場合の特徴的写像$\chi_M: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(M,M)$の像を理解すること。
• 最小$A_{\infty}$-代数の$A_{\infty}$-中心を定義・研究し、ホモトピー的可換性を捉える次数中心の強化とすること。
• 既知の結果（Koszul代数では$\chi_k$が$\mathrm{Ext}_A(k,k)$の次数中心に値をとる）を一般化し、やや強い連結性条件のもとで、任意の増分dg代数に対して$\chi_k$が正確に$A_{\infty}$-中心に値をとることを示すこと。
• ホッシャイドコホモロジー、$A_{\infty}$-構造、トポロジー（特に自由ループ空間ホモロジーの交差写像を通じて）との概念的関係を確立すること。
• $A_{\infty}$-中心の計算ツールを提供し、Lie群や形式的dg代数などの例に応用すること。

提案手法

• 高次コンミュータタの$A_{\infty}$-積を用いて$A_{\infty}$-中心を定義し、$\mu_n(a,x_1,\dots,x_{n-1}) = \pm \mu_n(x_1,\dots,x_{n-1},a)$（符号およびホモトピーの意味で）を満たす要素として定義する。
• dgまたは$A_{\infty}$-代数$B$に対して、$\Pi: \mathrm{HH}^*(B,B) \to \mathrm{H}(B)$を射影写像として導入し、$A_{\infty}$-中心を$\Pi$の像として定義。これは高次コンミュータタ条件と一致することが示される。
• $A^! = \mathrm{RHom}_A(k,k)$として、$\mathrm{HH}^*(A,A)$と$\mathrm{HH}^*(A^!,A^!)$の間の同型を用いて、可換図式を構成。$A_{\infty}$-設定におけるフェリックス＝メニチ＝トーマス同型を用いる。
• 増分dg代数$A$のコーサル双対$A^!$に理論を適用し、$\chi_k$が$\mathrm{H}(A^!)$の$A_{\infty}$-中心を通じて因数分解されることを示し、コーサルの場合を一般化する。
• $A^!$の最小モデルを用いて、$A_{\infty}$-中心を内在的に計算し、例における明示的計算を可能にする。
• 自由ループ空間ホモロジーにおける交差写像$I: \mathrm{H}_{*+d}(LX) \to \mathrm{H}_*(\Omega X)$を特徴的写像と関連付け、$\mathrm{H}_*(\Omega X)$の$A_{\infty}$-中心に含まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー的可換性を捉えるために、$\mathrm{Ext}_A(M,M)$に$A_{\infty}$-構造がある場合の特徴的写像$\chi_M$の像を一般化する適切な次数中心の一般化は何か？
• RQ2 増分dg代数$A$に対して、特徴的写像$\chi_k: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(k,k)$は、$\mathrm{H}(A^!)$の$A_{\infty}$-中心に正確に値をとるか？
• RQ3 $A_{\infty}$-中心は、コーサル双対性の古典的構成およびホッシャイドコホモロジーの特徴的作用とどのように関係するか？
• RQ4 $A_{\infty}$-中心は明示的に計算可能か？また、自由ループ空間のトポロジーにどのような意味を持つのか？
• RQ5 自由ループ空間ホモロジーにおける交差写像と、ポントリャーギン代数の$A_{\infty}$-中心との関係は何か？

主な発見

• 特徴的写像$\chi_M: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(M,M)$の像は、$\mathrm{H}(\mathrm{RHom}_A(M,M))$の$A_{\infty}$-中心に正確に含まれており、既知の次数中心への包含関係を強化している。
• 体$k$上の増分dg代数$A$で、増分イデアルが冪零であるものに対して、写像$\chi_k: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(k,k)$は、$\mathrm{H}(A^!)$の$A_{\infty}$-中心に正確に値をとる。これはコーサルの場合を一般化する。
• 最小$A_{\infty}$-代数の$A_{\infty}$-中心は、射影写像$\Pi: \mathrm{HH}^*(B,B) \to \mathrm{H}(B)$の像として定義され、すべての高次積とホモトピーの意味で可換する要素の集合と一致する。
• 同型$\mathrm{HH}^*(A,A) \cong \mathrm{HH}^*(A^!,A^!)$は、$\chi$と$\Pi$を含む可換図式を誘導し、一般化されたコーサル双対性の結果に対する概念的証明を提供する。
• 特性0の体上では、シアリング写像$\chi: \mathrm{HH}^*(A,A) \to A^!$が全射であるための必要十分条件は、$A$が自明な微分を持つ対称代数にホモトピー同値であることであり、これは$A^!$が$A_{\infty}$-可換であることと対応する。
• 交差写像$I: \mathrm{H}_{*+d}(LX) \to \mathrm{H}_*(\Omega X)$が全射であるための必要十分条件は、$X$が奇数次元球面の積と有理ホモトピー同値であることであり、これは$A_{\infty}$-中心が、$\pi_*(\Omega X) \otimes k$のリー代数がアーベルであるときに正確に大きくなることに一致する。