[論文レビュー] The Abel-Jacobi map of a moduli component of vector bundles on the cubic threefold

Dimitri Markushevich, Alexander S. Tikhomirov|ArXiv.org|Sep 24, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般の立方三様体上の楕円的五次曲線族のアーベル・ジャコビ写像を研究し、それがc₁=0、c₂=2をもつ安定なランク2ベクトル束のモジュライ成分を通じて因数分解されることを証明する。中間ジャコビアンへの写像がエタールであることが示され、このモジュライ空間は、このような曲線からセールの構成を用いて得られる束をパラメトライズしており、そのファイバーはヒルベルト多項式の曲線の空間内に5次元線型系をなす。

ABSTRACT

The Abel-Jacobi map of the family of elliptic quintics lying on a general cubic threefold is studied. It is proved that it factors through a moduli component of stable rank 2 vector bundles on the cubic threefold with Chern numbers c_1=0, c_2=2, whose general point represents a vector bundle obtained by Serre's construction from an elliptic quintic. The elliptic quintics mapped to a point of the moduli space vary in a 5-dimensional projective space inside the Hilbert scheme of curves, and the map from the moduli space to the intermediate Jacobian is étale. As auxiliary results, the irreducibility of families of elliptic normal quintics and of rational normal quartics on a general cubic threefold is proved. This implies the uniqueness of the moduli component under consideration. The techniques of Clemens-Griffiths and Welters are used for the calculation of the infinitesimal Abel-Jacobi map.

研究の動機と目的

• 一般の立方三様体上の楕円的五次曲線族のアーベル・ジャコビ写像の幾何的構造を理解すること。
• 立方三様体上に、チャーン類c₁=0、c₂=2をもつ安定なランク2ベクトル束のモジュライ成分の存在と一意性を確立すること。
• アーベル・ジャコビ写像のファイバー構造と、曲線のヒルベルト多項式との関係を分析すること。
• モジュライ空間から中間ジャコビアンへの写像がエタールであることを証明し、これが一意分岐（unibranch）であることを示すこと。
• 立方三様体上における楕円的正規五次曲線および有理正規四次曲線の族の既約性に関する基礎的結果を提供すること。

提案手法

• 無限小アーベル・ジャコビ写像の計算に、Clemens-GriffithsおよびWeltersの技法を適用する。
• 楕円的五次曲線に対してセールの構成を適用し、安定なランク2ベクトル束を関連付ける。
• アーベル・ジャコビ写像のファイバーを、曲線のヒルベルト多項式内の5次元線型系として分析する。
• 変形理論およびモジュライ理論を用いて、安定束のモジュライ成分の構造を研究する。
• 幾何的およびコhomologicalな議論を用いて、楕円的五次曲線および有理四次曲線の族の既約性を確立する。
• 立方三様体の幾何とその中間ジャコビアンの性質を用いて、アーベル・ジャコビ写像のグローバルな振る舞いを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方三様体上の楕円的五次曲線のアーベル・ジャコビ写像は、どのようにベクトル束のモジュライ空間を通じて因数分解されるか？
• RQ2 立方三様体上の曲線のヒルベルト多項式内における、アーベル・ジャコビ写像のファイバー構造はいかなるものか？
• RQ3 立方三様体上に、c₁=0、c₂=2をもつ安定なランク2ベクトル束のモジュライ成分は一意的かつ既約的か？
• RQ4 モジュライ空間から中間ジャコビアンへの誘導写像はエタールか？
• RQ5 ヒルベルト多項式は、立方三様体上における楕円的五次曲線および有理四次曲線の族をパラメトライズする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 一般の立方三様体上の楕円的五次曲線族のアーベル・ジャコビ写像は、c₁=0、c₂=2をもつ安定なランク2ベクトル束のモジュライ成分を通じて因数分解される。
• このモジュライ成分の一般点は、楕円的五次曲線からセールの構成を用いて得られるベクトル束に対応する。
• モジュライ空間上の点におけるアーベル・ジャコビ写像のファイバーは、曲線のヒルベルト多項式内に5次元線型系をなす。
• モジュライ空間から中間ジャコビアンへの誘導写像はエタールであり、写像が一意分岐的で局所的に同型であることを示している。
• 一般の立方三様体上における楕円的正規五次曲線の族は既約であり、有理正規四次曲線の族に対しても同様に既約である。
• これらの曲線族の既約性は、考察中のモジュライ成分の一意性を示唆している。