[論文レビュー] The accessibility of convex bodies and derandomization of the hit and run algorithm

Benoı̂t Collins, Termeh Kousha+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2013

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、R^d における凸体の可アクセス性の概念を導入し、任意の凸体が次元 d のみに依存する定数に依存する k-可アクセス性を示している。固定された方向集合を用いた非確率的 hit-and-run アルゴリズムを提案し、そのアルゴリズムは凸体上での一様分布への指数的収束を示しており、収束速度は内接球半径と直径の比および可アクセス性パラメータ k で定量化されている。

ABSTRACT

We introduce the concept of accessibility and prove that any convex body $X$ in $\mathbb R^d$ is accessible with relevant constants depending on $d$ only. This property leads to a new algorithm which may be considered as a natural derandomization of the hit and run algorithm applied to generate a sequence of random points covering $X$ uniformly. We prove stability of the Markov chain generated by the proposed algorithm and provide its rate of convergence.

研究の動機と目的

• 任意の R^d における凸体が、次元 d のみに依存する k と l に依存する k-可アクセス性であることを形式的かつ証明すること。
• 凸体上での一様サンプリングのための確率的 hit-and-run アルゴリズムの決定的代替手法を開発すること。
• 得られるマルコフ連鎖が凸体上での一様（Lebesgue）測度へ指数的収束することを確立すること。
• 内接球半径、直径、可アクセス性 k などの幾何的パラメータに基づいた収束速度の明示的バウンドを提供すること。
• 量子情報や統計物理学の文脈（例えば、量子状態や双確率的行列）への応用を示すこと。

提案手法

• k-可アクセス性の定義：凸体 X 内の任意の点から、固定された l 個のベクトルに沿って、X 内にとどまりながら、高々 k ステップで固定された内部点 x* に到達可能であること。
• 内接球半径 r と直径 R を持つ任意の凸体が、S^{d-1} の半径 r/2 の球の有限被覆を用いて (d+1)-可アクセス性であることを証明すること。
• ジョンの定理を用いて、任意の凸体が最大体積楕円体を含むことを示し、これにより楕円体の場合への還元が可能であることを示すこと。
• 有限個の方向集合 {e_1, ..., e_l} 沿いの決定的ステップを用いて X 上にマルコフ連鎖を構築し、その連鎖が既約かつ非周期的であることを保証すること。
• 可アクセス性パラメータ k と幾何的比を用いてスペクトルギャップを分析することで、マルコフ連鎖の一様測度への指数的収束を確立すること。
• 具体的な凸集合（量子状態、確率的行列、双確率的行列）に対してアルゴリズムを適用し、明示的なバウンドを伴う k-可アクセス性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^d における任意の凸体は、有限個の固定された方向集合を用いて、有限ステップで任意の点から到達可能であり、そのバウンドは次元 d のみに依存するか？
• RQ2 一様分布への指数的収束を保ちつつ、hit-and-run アルゴリズムの非確率的版が存在するか？
• RQ3 提案された決定的マルコフ連鎖の収束速度は何か？ そして、r/R や k などの幾何的パラメータにどのように依存するか？
• RQ4 量子情報に現れる構造的凸集合（例えば、量子状態や双確率的行列）に対して、このアルゴリズムは実際に有効に適用可能か？
• RQ5 方向集合の選択が収束速度に与える影響は何か？ また、指数的収束が保証される最小の k は何か？

主な発見

• 任意の R^d における凸体は、直径 R と内接球半径 r を用いて、l ≤ (1 + 2R/r)^d + d 個のベクトルからなる有限集合に関して (d+1)-可アクセスである。
• 提案された非確率的アルゴリズムは、凸体上での一様分布への指数的収束を示しており、収束速度は r/R の比と可アクセス性パラメータ k に依存する。
• 双確率的行列の集合に対して、アルゴリズムは (N-1)^3-可アクセスであり、k = (N-1)^3、l = N^2(N-1)^2 であり、指数的収束が保証される。
• 収束速度はパラメータ α = (1 - θ)^{1/M} で定量化され、ここで M = N(N-1)^2、θ = b_{(N-1)^2} (N-1)^{-4N(N-1)^2} であり、明示的な減衰バウンドが得られる。
• 集合が k-可アクセスでない場合、アルゴリズムは指数的収束しない。例えば、与えられた基底に関して可アクセスでない三角形は、全測度ではなく、稠密な開部分集合しかカバーしない。
• 本手法は、特に PPT 状態などの関連部分集合の体積が指数的に小さい高次元設定において、標準的な hit-and-run サンプリングの実用的代替手段を提供する。