[論文レビュー] The action of SL(2) on abelian varieties

Arnaud Beauville|ArXiv.org|May 11, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可逆な自己対応を介して、極小化されたアーベル多様体 $A$ のチャウ群 $CH(A)$ に代数群 $\mathrm{SL}_2$ の自然な作用を構成する。この作用により $CH(A)$ は有限次元の既約表現に分解され、その結果、$\theta$ を正則で対称的なクラスとするとき、乗法 $\theta^{g-2p+s}$ が $CH^p_s(A) \to CH^{g-p+s}_s(A)$ の同型を誘導する、ねじれたハード・リーマンの定理が得られる。これは代数幾何学における古典的なリーマン型結果を一般化する。

ABSTRACT

We show that the algebraic group SL(2) acts on any polarized abelian variety A through correspondences. As a consequence we recover the action of SL(2) on the Chow group CH(A) (with rational coefficients), and this gives rise to Lefschetz type properties for algebraic cycles on A .

研究の動機と目的

• 文献における空白を埋めるために、$CH(A)$ における $\mathrm{SL}_2$ の作用について、これまでに暗黙的・明示的に用いられてきたが、完全には説明されていなかったものを、詳細に解説すること。
• 極小化されたアーベル多様体 $A$ に対して、$\mathrm{SL}_2$ から可逆な自己対応群 $\mathrm{Corr}(A)^*$ への自然な準同型を確立すること。
• デムザーの生成元と関係式による $\mathrm{SL}_2$ の表現を用いて、既知の $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の作用を、完全な代数群 $\mathrm{SL}_2$ に拡張すること。
• 特に、グレーディングされたチャウ群の文脈において、ねじれたバージョンのハード・リーマンの定理を含む、チャウ群に対する新しいリーマン型定理を導出すること。

提案手法

• ムカイによる導来カテゴリ $\mathbf{D}(A)$ における $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の作用を用い、対応を通じて $CH(A)$ にそれに対応する作用を構成する。
• デムザーによる $\mathrm{SL}_2$ の生成元と関係式による表現を適用し、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$-作用を完全な代数群 $\mathrm{SL}_2$ に拡張する。
• $CH(A \times A)$ 内の代数的サイクルの合成を通じて作用を定義し、その作用が有理同値を保存し、$n^*_A$ の作用によって誘導されるグレーディングを尊重することを示す。
• 主な技術的道具はチャーン指標であり、これは導来カテゴリの対応とチャウ群の作用を結びつける。これにより、$\mathbf{D}(A)$ からの自己同型を $CH(A)$ に移すことが可能になる。
• $n^*_A$ による作用の固有空間としての $CH^p_s(A)$ への分解を用い、これらの部分空間上での $\mathrm{SL}_2$ の作用を調べることで、双対性および同型に関する結果を導出する。
• 原始的サイクルの構造とフーリエ変換の作用を用いて、$\theta$ を正則で対称的なクラスとするとき、乗法写像 $\times \theta^{g-2p+s}: CH^p_s(A) \to CH^{g-p+s}_s(A)$ が同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来カテゴリ $\mathbf{D}(A)$ における $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の作用を、アーベル多様体のチャウ群 $CH(A)$ における完全な代数群 $\mathrm{SL}_2$ の作用にどのように持ち上げることができるか。
• RQ2 $\mathrm{SL}_2$ の作用における $CH(A)$ の分解の正確な構造は何か。また、$n^*_A$-作用による固有空間のグレーディングとはどのように関係するか。
• RQ3 $CH(A)$ に対してねじれたハード・リーマンの定理を確立できるか。また、正則で対称的なクラスのべき乗による乗法が同型を誘導する条件は何か。
• RQ4 負のグレーディング成分 $CH_s(A)$（$s < 0$）の消滅と、$CH^p(A)$ 上での乗法写像 $\times h^{g-2p}$ の単射性との関係は何か。

主な発見

• チャウ群 $CH(A)$ における $\mathrm{SL}_2$ の作用は、群準同型 $\mathrm{SL}_2 \to \mathrm{Corr}(A)^*$ として構成され、有理同値類値の表現を誘導する。
• $CH(A)$ は、$n^*_A$ による作用の固有空間に対応するグレーディング $CH^p_s(A)$ を持つ、$\mathrm{SL}_2$ の有限次元既約表現の直和に分解される。
• ねじれたハード・リーマンの同型が成り立つ：正則で対称的なクラス $\theta \in CH^1(A)$ に対して、写像 $\times \theta^{g-2p+s}: CH^p_s(A) \to CH^{g-p+s}_s(A)$ は同型である。
• $F^s CH^p(A) = \bigoplus_{t \geq s} CH^p_t(A)$ は、予想としてブロッハ＝ベイリントンフィルトレーションである。任意の正則クラス $h$ に対して、$F^{p+q-g} CH^p(A)$ 上での乗法 $h^{q-p}$ は単射である。
• $CH_s(A) = 0$（すべての $s < 0$ に対して）であるとき、すべての $p \leq g/2$ に対して $\times h^{g-2p}: CH^p(A) \to CH^{g-p}(A)$ が単射であることは同値であり、チャウ群の消滅とリーマン型の単射性との深い関係を確認する。
• $D$ が正則な除集合であるとき、$p \leq \frac{1}{2}(g-1)$ ならば、制限写像 $CH^p(A) \to CH^p(D)$ は $CH_s(A) = 0$（すべての $s < 0$ に対して）を仮定すると単射である。