[論文レビュー] The actions of $Out(F_k)$ on the boundary of Outer space and on the space of currents: minimal sets and equivariant incompatibility

Ilya Kapovich, Martin Lustig|ArXiv.org|May 19, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$k \geq 5$ のとき、Outer空間の境界 $\partial CV(F_k)$ から射影的測地的カレント空間 $\mathbb{P}Curr(F_k)$ への連続的 $\mathrm{Out}(F_k)$-等変または反等変写像が存在しないことを確立し、$\partial CV(F_k)$ および $\mathbb{P}Curr(F_k)$ の両方における一意的な最小閉 $\mathrm{Out}(F_k)$-不変集合の存在を証明する。これにより、Patterson-Sullivan埋め込みがOuter空間の別種のコンパクト化をもたらすことが示される。

ABSTRACT

We prove that for $k\ge 5$ there does not exist a continuous map $\partial CV(F_k) o\mathbb PCurr(F_k)$ that is either $Out(F_k)$-equivariant or $Out(F_k)$-anti-equivariant. Here $\partial CV(F_k)$ is the "length-function" boundary of Culler-Vogtmann's Outer space $CV(F_k)$, and $\mathbb PCurr(F_k)$ is the space of projectivized geodesic currents for $F_{k}$. We also prove that, if $k\ge 3$, for the action of $Out(F_k)$ on $\mathbb PCurr(F_{k})$ and for the diagonal action of $Out(F_k)$ on the product space $\partial CV(F_k) imes \mathbb PCurr(F_k)$ there exist unique non-empty minimal closed $Out(F_k)$-invariant sets. Our results imply that for $k\ge 3$ any continuous $Out(F_k)$-equivariant embedding of $CV(F_k)$ into $\mathbb PCurr(F_k)$ (such as the Patterson-Sullivan embedding) produces a new compactification of Outer space, different from the usual "length-function" compactification $\bar{CV(F_k)}=CV(F_k)\cup \partial CV(F_k)$.

研究の動機と目的

• Culler-VogtmannのOuter空間の境界 $\partial CV(F_k)$ における $\mathrm{Out}(F_k)$ の作用と、射影的測地的カレント空間 $\mathbb{P}Curr(F_k)$ における作用の動的関係を調査すること。
• $\partial CV(F_k)$ から $\mathbb{P}Curr(F_k)$ への連続的 $\mathrm{Out}(F_k)$-等変または反等変写像が存在するかを特定すること。
• $\partial CV(F_k)$, $\mathbb{P}Curr(F_k)$, およびそれらの積空間における最小閉 $\mathrm{Out}(F_k)$-不変集合を特定・特徴付けること。
• これらの結果がOuter空間のコンパクト化に与える影響、特にPatterson-Sullivan埋め込みの役割を探索すること。

提案手法

• $\mathrm{Out}(F_k)$ の $\partial CV(F_k)$ における作用を、$\mathbb{R}$-ツリーの長さ関数境界を用いて分析する。
• 射影的測地的カレント空間 $\mathbb{P}Curr(F_k)$ を研究する。これは $F_k$-不変かつフラップ不変な $\partial^2 F_k$ 上のRadon測度である。
• Bonahonの双曲的曲面の交差数を一般化した、$\mathrm{Out}(F_k)$-等変交差形式 $I: cv(F_k) \times Curr(F_k) \to \mathbb{R}$ を適用する。
• 等変写像の非存在を用いて、Patterson-Sullivan埋め込みが $\mathbb{P}Curr(F_k)$ に埋め込まれることで、標準的な長さ関数コンパクト化とは異なるコンパクト化が得られることを示す。
• 最小集合理論および位相的力学を用いて、$k \geq 3$ のとき、$\mathrm{Out}(F_k)$ の $\partial CV(F_k) \times \mathbb{P}Curr(F_k)$ 上の対角的作用が、一意的な空でない閉最小不変集合を持つことを証明する。
• Dehnツイストの振る舞いと $cv(F_k)$ および $Curr(F_k)$ 内の列の収束を用いて、極限点および交差数を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 5$ のとき、$\partial CV(F_k) \to \mathbb{P}Curr(F_k)$ への連続的 $\mathrm{Out}(F_k)$-等変または反等変写像が存在するか？
• RQ2 $\partial CV(F_k)$, $\mathbb{P}Curr(F_k)$, およびそれらの積空間における最小閉 $\mathrm{Out}(F_k)$-不変集合は何か？
• RQ3 Patterson-Sullivan埋め込み $\mathcal{P}: CV(F_k) \to \mathbb{P}Curr(F_k)$ を用いて、Outer空間の新たなコンパクト化を構成できるか？
• RQ4 $\partial CV(F_k) \times \mathbb{P}Curr(F_k)$ 内の最小集合 $\mathcal{M}^2$ は、交差数がゼロであるペアの集合に等しいか？

主な発見

• $k \geq 5$ のとき、$\partial CV(F_k)$ から $\mathbb{P}Curr(F_k)$ への連続的 $\mathrm{Out}(F_k)$-等変または反等変写像は存在しない。
• $k \geq 3$ のとき、$\partial CV(F_k)$, $\mathbb{P}Curr(F_k)$, およびそれらの積空間において、一意的な空でない閉最小 $\mathrm{Out}(F_k)$-不変集合が存在する。
• Patterson-Sullivan埋め込み $\mathcal{P}: CV(F_k) \to \mathbb{P}Curr(F_k)$ は、連続的 $\mathrm{Out}(F_k)$-等変な位相的埋め込みであり、その閉包は $\mathbb{P}Curr(F_k)$ 内の最小集合を含む。
• Patterson-Sullivan埋め込みの像は、標準的な長さ関数コンパクト化において稠密でないため、Outer空間の別種のコンパクト化を誘導することが示される。
• 交差形式が境界に連続的に拡張可能であるという仮定の下で、$\partial CV(F_k) \times \mathbb{P}Curr(F_k)$ 内の最小集合 $\mathcal{M}^2$ は、交差数ゼロの集合 $I_0$ に含まれる。
• 最小集合 $\mathcal{M}^2$ は、代数的ラミネーションによって定義される集合 $\mathcal{L}^2$ に含まれるため、ラミネーションと交差数ゼロのペアとの間に深い関係があることが示唆される。