[論文レビュー] The Adiabatic Theorem of Quantum Mechanics

J. E. Avron, Alexander Elgart|arXiv (Cornell University)|May 25, 1998

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 66

ひとこと要約

この論文は、スペクトルギャップを要しない一般化された断熱定理を量子力学に確立し、時間に依存するハミルトニアンのスペクトル射影が時間に対して滑らかに依存する限り、断熱的遷移が成立することを証明している。主な貢献は、連続スペクトル中に埋め込まれた固有値に対しても断熱定理が成立することを示したことであり、長年にわたりギャップが必要であると信じられてきた考えを覆した。

ABSTRACT

We prove the adiabatic theorem for quantum evolution without the traditional gap condition. We show that the theorem holds essentially in all cases where it can be formulated. In particular, our result implies that the adiabatic theorem holds also for eigenvalues embedded in the continuous spectrum. If there is information on the Hölder continuity of the spectral measure, then one can also estimate the rate at which the adiabatic limit is approached. The adiabatic theorem of Quantum Mechanics describes the long time behavior of the solutions of an initial value problem where the Hamiltonian generating the evolution depends slowly in time. Traditionally, the theorem is stated for Hamiltonians that have an eigenvalue which is separated by a gap from the rest of the spectrum. Folk wisdom is that a gap condition is a sine qua non for the adiabatic theorem to hold. In particular, according to this folk wisdom, one does not expect a general adiabatic theorem for Hamiltonians that have an eigenvalue embedded in, say, the continuous spectrum. Our purpose is to show that this folk wisdom is wrong, and there is a general adiabatic theorem without a gap condition. All one really needs for the adiabatic theorem is a spectral projection for the Hamiltonian that depends smoothly on time.

研究の動機と目的

• 量子力学における断熱定理にあたってスペクトルギャップが必須であるという広く信じられている考えに挑戦すること。
• 固有値が連続スペクトル中に埋め込まれている場合に、断熱定理を定式化し証明すること。
• 断熱極限に近づく条件を確立すること、特にスペクトル測度の Hölder 連続性が分かっている場合に注目すること。
• 断熱性の本質的要件はスペクトルギャップではなく、スペクトル射影が時間に対して滑らかに依存することであることを示すこと。

提案手法

• スペクトルギャップではなく、スペクトル射影が時間に対して滑らかに依存することを基盤として断熱定理を形式化すること。
• 関数計算とスペクトル論を用いて、孤立した固有値を仮定しない時間に依存するハミルトニアンを分析すること。
• スペクトル測度の Hölder 連続性に基づく推定を用いて、断熱極限における収束速度を定量的に評価すること。
• 標準的な断熱定理をギャップ条件を超えて一般化する、きめの細かい数学的枠組みを構築すること。
• 摂動論と時序整理された時間発展演算子を用いて、ゆっくり変化するハミルトニアン下での量子状態の時間発展を追跡すること。
• ハミルトニアンのスペクトルに連続部分と埋め込まれた固有値が含まれる場合であっても、断熱極限が保存されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンのスペクトルにスペクトルギャップがない場合でも、断熱定理を証明できるか？
• RQ2 時間に依存するハミルトニアンの連続スペクトル中に埋め込まれた固有値に対しても、断熱定理は成立するか？
• RQ3 スペクトルギャップがない状況で、断熱極限への収束を保証する条件は何か？
• RQ4 ギャップが存在しない状況で、断熱極限における収束速度をどのように推定できるか？
• RQ5 スペクトル射影が時間に対して滑らかに依存することは、断熱的遷移の成立に十分な条件か？

主な発見

• スペクトル射影が時間に対して滑らかに変化するすべての時間に依存するハミルトニアンに対して、断熱定理が成立する。これはスペクトルギャップの有無にかかわらない。
• この定理は、連続スペクトル中に埋め込まれた固有値に対しても適用可能であり、従来の考えとは対照的に、このような場合が除外されるべきではないことを示している。
• スペクトル測度が Hölder 連続である場合、断熱極限に近づく速度を定量的に推定できる。
• スペクトルギャップがなくても、スペクトル射影が時間に対して滑らかに依存する限り、断熱的遷移は成立する。
• 断熱性の核心的要件はギャップではなく、スペクトル射影の滑らかさであり、これは標準的な定式化を一般化するものである。
• 開発された数学的枠組みにより、連続スペクトルを含む複雑なスペクトル構造を有する系における断熱過程を厳密に取り扱うことが可能になった。