[論文レビュー] The adic tame site

Katharina Hübner|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は任意のアディック空間 $Z$ に対して、tame fundamental group とエタールコホモロジーを一般化する新しいコホモロジカル枠組みを構成する、adic tame site $Z_t$ を導入する。$\mathrm{Spa}(X,S)$ のtame siteにおける $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-層のコホモロジカル純粋性を確立し、正則なスキームについて特徴 $p > 0$ におけるホモトピー不変性を導く。この構成により、混合特徴の設定においてtame fundamental group とコホモロジカル性質が統一される。

ABSTRACT

For every adic space $Z$ we construct a site $Z_t$, the tame site of $Z$. For a scheme $X$ over a base scheme $S$ we obtain a tame site by associating with $X/S$ an adic space $ extit{Spa}(X,S)$ and considering the tame site $ extit{Spa}(X,S)_t$. We compare the cohomology of the tame site with \'etale cohomology and show that the fundamental group of the tame site coincides with the curve-tame fundamental group. Finally, for a regular scheme $X$ over a base scheme $S$ of characteristic $p > 0$ we prove a cohomological purity theorem for the constant sheaf $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ on $ extit{Spa}(X,S)_t$. As a corollary we obtain homotopy invariance for the the tame site of $ extit{Spa}(X,S)$.

研究の動機と目的

• アディック空間 $Z$ に対して、tame fundamental group を一般化する新しいコホモロジカルサイト、すなわちtame site $Z_t$ を定義すること。
• tame site のコホモロジーとエタールコホモロジーの関係を明らかにし、基礎的な比較を確立すること。
• $\mathrm{Spa}(X,S)$ のtame siteにおける定数層 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ について、特徴 $p > 0$ における正則な $X$ over $S$ に対してコホモロジカル純粋性定理を証明すること。
• 純粋性結果から、$\mathrm{Spa}(X,S)_t$ のtame siteにおけるホモトピー不変性を導出すること。

提案手法

• アディック設定へのtame準同型の一般化を用いて、任意のアディック空間 $Z$ に対して tame site $Z_t$ を構成する。
• スキーム $X$ を基底 $S$ に対して与えるとき、アディック空間 $\mathrm{Spa}(X,S)$ を関連付け、このアディック空間のtame site として $\mathrm{Spa}(X,S)_t$ を定義する。
• アディック空間の文脈において、比較定理を通じてtame siteのコホモロジーとエタールコホモロジーを比較する。
• perfectoid空間の理論とpro-étale位相を用いてtame siteを分析し、純粋性を確立する。
• 純粋性定理を応用して、$X$ が特徴 $p > 0$ における $S$ に対して正則なとき、$\mathrm{Spa}(X,S)$ のtame siteにおけるホモトピー不変性を導出する。
• tame siteの基本群がcurve-tame fundamental group と一致することを示し、位相的およびコホモロジカル的不変量を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、古典的なtame fundamental group を一般化するアディック空間のtame site を定義できるか？
• RQ2 アディック設定において、tame site のコホモロジーとエタールコホモロジーの関係は何か？
• RQ3 特徴 $p > 0$ において $X$ が $S$ に対して正則なとき、$\mathrm{Spa}(X,S)$ のtame siteにおける定数層 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ についてコホモロジカル純粋性定理が成立するか？
• RQ4 純粋性結果から、tame site設定においてホモトピー不変性を導出できるか？
• RQ5 tame siteの基本群はcurve-tame fundamental group とどのように関係するか？

主な発見

• tame site $\mathrm{Spa}(X,S)_t$ の基本群はcurve-tame fundamental group と同型であり、位相的特徴付けが確立される。
• 特徴 $p > 0$ における基底スキーム $S$ に対して正則なスキーム $X$ について、tame site $\mathrm{Spa}(X,S)_t$ は定数層 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ に対してコホモロジカル純粋性を満たす。
• 純粋性結果により、tame siteのコホモロジーがアフィンラインバンドルに対して不変であることが示され、$\mathrm{Spa}(X,S)_t$ におけるホモトピー不変性が導かれる。
• tame siteのコホモロジーはエタールコホモロジーと比較可能であることが示され、特にアディック空間の文脈において顕著である。
• スキームの代数的幾何とアディック空間の理論の間の橋渡しを、$\mathrm{Spa}(X,S)$ を通じたtame siteの構成が果たす。
• 本稿は、正の特徴においてtame fundamental group と層論的不変量を統一する、新しいコホモロジカル枠組みを確立する。