[論文レビュー] The AE Theorem and addition theorems for quasi-convex functions

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿はAE定理を確立し、局所的擬凸関数のほとんど everywhere における2次ジェットが退化楕円的制約 $F$ を満たすならば、その関数は可視的 $F$-下位解であることを証明する。この結果は、擬凸関数の下調和性の解析を単純化・統一し、退化楕円型偏微分方程式理論における新しい加法定理と比較原理を可能にする。

ABSTRACT

The main point of this paper is to prove the following useful result: If the almost everywhere 2-jet of a locally quasi-convex function u satisfies a degenerate elliptic constraint F, then u is F-subharmonic, i.e., u is a viscosity F-subsolution. This AE Theorem makes otherwise difficult results transparent. Some instances of this are presented, including two versions of addition, and a comparison theorem.

研究の動機と目的

• 局所的擬凸関数が、その2次ジェットがほとんど everywhere で退化楕円的制約 $F$ を満たすとき、可視的 $F$-下位解であるための必要十分条件を確立すること。
• 定数係数の場合の $F$-下調和性に関する先行結果を、退化楕円的下方程式の全クラスへ一般化すること。
• 複素下調和関数にインspiredされたポテンシャル論的アプローチを用いて、下調和性の分析を統一的枠組みで行うこと。
• 擬凸性仮定の下で、$F$-下調和関数のための新しい加法定理を証明すること。
• 下方程式包含条件 $G \subset \mathrm{Int}(F)$ の下で、擬凸関数に対して厳密な比較原理を確立すること。

提案手法

• 上位接触ジェットを用いて $F$-下調和性を定義する：上半連続関数 $u$ が $F$-下調和であるとは、任意の点におけるすべての上位接触ジェットがファイバー $F_x$ 内にあること。
• $F$ に2つの最小限の条件を課す：(P) 退化楕円性（非負定値行列の加法に対して閉じていること）、(C) 閉性（極限に対して安定であること）。
• 擬凸関数が a.e. で2回微分可能であるという事実を用いて、このような関数の2次ジェットを分析し、下方程式 $F$ と関連付ける。
• AE定理の証明：局所的擬凸関数 $u$ に対して、$J^2_x u \in F$ が a.e. で成り立つならば、$u \in F(X)$、すなわち $u$ は可視的 $F$-下位解である。
• AE定理を応用して、基本加法定理を導出する：$u \in F(X)$, $v \in G(X)$ ならば、$u+v \in \overline{F+G}(X)$ が成り立ち、$F,G$ は (P) と (C) を満たす。
• コンパクト性の議論と擬凸性を用いて、加法定理および比較原理の証明における2階微分の収束列を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的擬凸関数が退化楕円型偏微分方程式の可視的下位解であるための条件は何か？
• RQ2 2つの $F$-および $G$-下調和関数の和は、$F+G$ のファイバーごとの閉包によって特徴付けられるか？
• RQ3 ある関数がもう一方の関数の下方程式の内部にあるとき、擬凸関数に対して厳密な比較原理が成り立つか？
• RQ4 完全な $C^2$ 正則性が欠如する状況において、AE定理は可視的下位解の解析をどのように単純化するか？
• RQ5 擬凸性は、加法定理の証明における2階微分の収束を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• AE定理は、局所的擬凸関数の2次ジェットが、閉かつ退化楕円的下方程式 $F$ にほとんど everywhere で含まれるならば、その関数は可視的 $F$-下位解であることを確立する。
• 基本加法定理が成立する：$u$ と $v$ が局所的擬凸関数であり、$u \in F(X)$, $v \in G(X)$ ならば、$u+v \in \overline{F+G}(X)$ が成り立ち、定数係数の場合には等号が成立する。
• 定数係数の場合には、擬凸性仮定を省略可能であり、加法定理はすべての上半連続関数に対して成り立つ。
• 厳密な比較原理が証明された：$G \subset \mathrm{Int}(F)$ であり、$u \in G(\Omega)$, $v \in \widetilde{F}(\Omega)$ ならば、$\partial\Omega$ で $u+v \leq 0$ ならば、$\Omega$ 全体でも $u+v \leq 0$ である。
• 証明は、最大点における上位接触ジェットの存在と、擬凸性の下での2階微分のコンパクト性に依存している。
• この結果は、既知の比較結果を一般化し、退化楕円型PDEにおける可視的解の理論に強固な枠組みを提供する。