[論文レビュー] The affine transform formula for affine diffusions with convex state space

Peter Spreij, Enno C.I. Veerman|arXiv (Cornell University)|May 6, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、一般の閉凸状態空間を持つアフィンジャンプディファッションに対して、指数モーメントの存在を確立し、アフィン変換公式を証明する。これは、従来の結果が正規化状態空間に限られていたのを拡張したものである。関連するマルティングル問題の適切な定義を用いて、指数局所マルティングルのマルティングル性を検証し、解析接続を用いることで、複素指数関数の特性関数を導出する。これにより、行列値状態空間を持つ過程への応用が可能になる。

ABSTRACT

We establish existence of exponential moments and the validity of the affine transform formula for affine jump-diffusions with a general closed convex state space. This extends known results for affine jump-diffusions with a canonical state space. The key step is to prove the martingale property of an exponential local martingale, using the well-posedness of the associated martingale problem. By analytic extension we obtain the affine transform formula for complex exponentials, in particular for the characteristic function. Our results apply to a wide class of affine processes, including those with a matrix-valued state space, which have recently gained interest in the literature.

研究の動機と目的

• 正規化状態空間に限らない一般の閉凸状態空間へのアフィン変換公式の拡張。
• 閉凸状態空間上でのアフィンジャンプディファッションにおける指数モーメントの存在の確立。
• 複素指数関数、特に特性関数を含む、解析的拡張を用いたアフィン変換公式の妥当性の検証。
• 金融モデリングにおいてますます重要性を増す行列値状態空間を持つアフィン過程への適用可能性の提示。

提案手法

• 関連するマルティングル問題の適切な定義を用いて、指数局所マルティングルのマルティングル性を証明する。
• 適切な定義の結果を活用し、指数モーメント生成関数の有効性を保証する。
• 解析接続を適用して、実指数関数から複素指数関数へのアフィン変換公式の拡張を行う。
• アフィンジャンプディファッションの構造を活用し、解析的拡張によって特性関数を導出する。
• 一般の閉凸状態空間、特に行列値状態空間を含む場合にも、導出された公式の有効性を検証する。
• アフィン構造と凸性を用いて、マルティングル問題の解の正規性および存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化状態空間に限らない一般の閉凸状態空間を持つアフィンジャンプディファッションに対して、アフィン変換公式は成り立つか？
• RQ2 このような過程において、凸状態空間の制約下でも指数モーメントを確立できるか？
• RQ3 この一般化された設定において、指数局所マルティングルのマルティングル性は有効か？
• RQ4 この文脈において、アフィン変換公式は複素指数関数、特に特性関数へと拡張可能か？
• RQ5 これらの結果は、応用において注目が高まる行列値アフィン過程にも適用可能か？

主な発見

• アフィン変換公式は、正規化状態空間に限らず、任意の閉凸状態空間上でのアフィンジャンプディファッションに対して有効である。
• このような過程に対して指数モーメントが存在し、モーメント生成関数の収束を保証する。
• 関連するマルティングル問題の適切な定義を用いて、指数局所マルティングルのマルティングル性が確立された。
• 解析接続を用いて、アフィン変換公式が実指数関数から複素指数関数へと拡張され、特性関数の導出が可能になった。
• 結果は行列値アフィン過程にも適用可能であり、多次元確率的モデリングにおける応用範囲を広げた。
• この枠組みは、状態空間に制約のあるモデルにおける価格設定およびリスク管理のための厳密な基盤を提供する。