[論文レビュー] The affine transform formula for affine jump-diffusions with a general closed convex state space

Peter Spreij, Enno C.I. Veerman|arXiv (Cornell University)|May 6, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、一般の閉凸状態空間におけるアフィンジャンプ・ディフュージョンに対して、アフィン変換公式の有効性を確立した。これは、従来の正準状態空間に限られた結果を拡張するものである。well-posedness of the martingale problem と解析接続を用いて、指数局所 martingale の martingale 性質を証明することで、ジャンプ測度の弱いモーメント条件のもとで、複素指数関数（特に特性関数）についてのアフィン変換公式を導出した。これにより、正定値行列などの非正準状態空間を持つ過程における数学的ファイナンス分野への応用が可能になった。

ABSTRACT

We establish existence of exponential moments and the validity of the affine transform formula for affine jump-diffusions with a general closed convex state space. This extends known results for affine jump-diffusions with a canonical state space. The key step is to prove the martingale property of an exponential local martingale, using the well-posedness of the associated martingale problem. By analytic extension we obtain the affine transform formula for complex exponentials, in particular for the characteristic function. Our results apply to a wide class of affine processes, including those with a matrix-valued state space, which have recently gained interest in the literature.

研究の動機と目的

• 従来の正準状態空間 ℝ⁺ᵐ×ℝᵖ⁻ᵐ に限らない、任意の閉凸状態空間におけるアフィンジャンプ・ディフュージョンへのアフィン変換公式の拡張を目的とする。
• 一般条件のもとで、複素指数関数、特に特性関数についてのアフィン変換公式の有効性を確立することを目的とする。
• 非正準状態空間における曲がった境界の問題に直面し、確率的不変性の許容条件がより複雑になる状況において、その課題を克服することを目的とする。
• 指数モーメントの存在および確率的指数の martingale 性質のための十分条件を提供し、変換公式の導出を可能にする。

提案手法

• マーティングール問題の well-posedness を活用して、指数局所 martingale の martingale 性質を証明し、アフィン変換公式を導くための重要なステップを達成する。
• 解析接続を用いて、実指数関数から複素指数関数（特性関数を含む）へのアフィン変換公式の拡張を行う。
• 正準状態空間に依存する許容条件に依存しない、確率的アプローチ（stochastic calculus と局所 martingale 理論）を採用する。
• 特性関数の線形成長条件の下で、ジャンプ成分と拡散成分を有する過程について、Gronwall の補題と Doob の不等式を用いてモーメントバウンドを導出する。
• Lévy 測度の2次および1次絶対モーメントの連続性と有界性に依存し、生成子のパスワイズ連続性と過程の安定性を保証する。
• 正則関数の性質を用いて、変換公式の左辺が複素 u に対して 0 になる可能性のある特異点を扱い、解が依然として適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の閉凸状態空間におけるアフィンジャンプ・ディフュージョンに対して、アフィン変換公式が成り立つ条件は何か？（正準状態空間に限らない。）
• RQ2 非正準状態空間を持つ過程について、アフィン変換公式を複素指数関数、特に特性関数へと拡張できるか？
• RQ3 正準状態空間の構造が欠如する状況、特に境界の曲がり具合が許容条件を複雑にする状況において、確率的指数の martingale 性質はどのように確立できるか？
• RQ4 ジャンプ測度のどのモーメント条件が、指数モーメントの存在とアフィン変換公式の有効性を保証するか？
• RQ5 過程が無限に可除でない場合、特に左辺が特定の複素 u に対して 0 になる場合でも、アフィン変換公式は依然として有効か？

主な発見

• 指数モーメントが存在する限り、任意の閉凸状態空間におけるアフィンジャンプ・ディフュージョンに対して、アフィン変換公式が成り立つ。これは、従来の正準状態空間における結果を拡張するものである。
• 関連するマーティングール問題の well-posedness を用いて、確率的指数の martingale 性質が確立され、変換公式の導出が可能になる。
• 左辺が適切に定義される限り、複素指数関数（特性関数を含む）についてもアフィン変換公式が有効である。これは、特性関数とリッカティ解の両方の解析接続を用いることで達成される。
• 指数モーメントの有限性のもとで、一般化されたリッカティ方程式は解を有し、両辺のいずれかが適切に定義される限り、変換公式は成り立つ。
• 左辺が x と t に関して一様有界である場合にも結果が拡張可能であり、これはジャンプ測度の完全なモーメント条件がなくても、特性関数を含む状況を含む。
• 本フレームワークは、正定値行列の錐上での行列値アフィン過程へも適用可能であり、この重要な金融的文脈におけるアフィン変換公式の有効性を確認している。