[論文レビュー] The alchemy of probability distributions: beyond Gram-Charlier expansions, and a skew-kurtotic-normal distribution from a rank transmutation map

WT Shaw, Irc Buckley|ArXiv.org|Jan 5, 2009

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 18被引用数 308

ひとこと要約

本稿では、基本分布の累積分布関数（CDF）と目的分布の分位数関数を合成することで、歪度と尖度を制御可能な柔軟で取り扱いやすい確率分布を生成する、新しいランク変換マップ（RTM）手法を提案する。この手法は、グラム＝チャーラー展開の病理的特性を回避し、非漸近的かつ正確な変換を提供することで、変換パラメータに関して線形で単純なモーメント表現を持つ歪度・尖度付き正規分布の導出を可能にする。

ABSTRACT

Motivated by the need for parametric families of rich and yet tractable distributions in financial mathematics, both in pricing and risk management settings, but also considering wider statistical applications, we investigate a novel technique for introducing skewness or kurtosis into a symmetric or other distribution. We use a "transmutation" map, which is the functional composition of the cumulative distribution function of one distribution with the inverse cumulative distribution (quantile) function of another. In contrast to the Gram-Charlier approach, this is done without resorting to an asymptotic expansion, and so avoids the pathologies that are often associated with it. Examples of parametric distributions that we can generate in this way include the skew-uniform, skew-exponential, skew-normal, and skew-kurtotic-normal.

研究の動機と目的

• 対称的または基本分布に歪度と尖度を導入する、強固で非漸近的な手法の開発、特にファイナンスモデリングおよびリスク管理への応用を目的とする。
• グラム＝チャーラー展開やコルニッシュ＝フィッシャー展開の限界、例えば密度関数の負の値やモーメントの収束問題を克服すること。
• 分位数関数と閉形式の変換マップを用いた、取り扱いやすいシミュレーションフレームワークの提供。
• 変換パラメータに関して線形で単純なモーメント表現を持つ、新しい分布族（特に歪度・尖度付き正規分布）の導出。
• 効率的なサンプリングアルゴリズムにより、モンテカルロシミュレーションおよびコプーラモデリングへの実用的応用を可能にする。

提案手法

• 本手法は、$ F_1 $ を基本分布のCDF、$ F_2 $ を目的分布のCDFとするランク変換マップ（RTM）$ G_{R_{12}}(u) = F_2(F_1^{-1}(u)) $ を用いる。
• 初期段階として、二次のRTMを採用：$ G_{R_{12}}(u) = u + \lambda u(1-u) $ で、歪度の導入が可能であり、閉形式での逆変換が可能となる。
• 高次モodulationのため、三次多項式RTMを導入：$ P(z, \alpha_1, \alpha_2) = z + \alpha_1 z(1-z) + \alpha_2 z(1-z)^2 $ により、歪度と尖度の同時制御が可能となる。
• 変換済みCDFは $ F_2(x) = F_1^{-1}(G_{R_{12}}^{-1}(u)) $ として構築され、サンプリングは基本分布の分位数関数を用いた逆変換サンプリングにより実施される。
• パラメータを $ (\alpha_1, \alpha_2) $-空間内の領域に制限することで、密度関数が非負かつ連続であることを保証する。
• モンテカルロサンプリングは、方程式 $ P(z, \alpha_1, \alpha_2) = u $ を $ z $ について解き、その後 $ X = F_1^{-1}(z) $ を計算することで達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラム＝チャーラー展開やコルニッシュ＝フィッシャー展開に依存せずに、非漸近的かつ正確な方法で、基本分布に歪度と尖度を導入できるか。
• RQ2 歪度と尖度を同時に制御可能なランク変換マップの数学的構造は何か。
• RQ3 得られた変換済み分布のモーメントは、変換パラメータに関して、単純で閉形式かつ線形に表現できるか。
• RQ4 非負の確率密度関数を保証するための $ (\alpha_1, \alpha_2) $-空間内での許容可能なパラメータ領域は何か。
• RQ5 既存の歪正規分布やアッザリーニ型分布と比較して、本手法の取り扱いやすさと正確さはどのように評価できるか。

主な発見

• 歪度・尖度付き正規分布は、三次のランク変換マップを用いて導出され、そのCDFは $ F_2(x) = \phi(x) P'(\Phi(x), \alpha_1, \alpha_2) $ として表される。ここで $ \phi $ と $ \Phi $ は標準正規分布の確率密度関数と累積分布関数を表す。
• 歪度・尖度付き正規分布の最初の5つのモーメントは、変換パラメータ $ \alpha_1 $ と $ \alpha_2 $ に関して線形関数であり、表2に明示的な表現が示されている。
• $ \alpha_1 = 1, \alpha_2 = 0 $ の場合、変換済み分布は二つの独立同分布の標準正規確率変数の最大値に対応する。
• $ \alpha_1 = 0, \alpha_2 = 1 $ の場合、分布は二つの独立同分布の標準正規確率変数の最小値に対応する。
• 特定の $ (\alpha_1, \alpha_2) $ 値を用いることで、三つの独立同分布の正規確率変数の最大値・最小値、および中央順序統計量（3つのうち中央）といった特殊ケースを生成できる。
• $ (\alpha_1, \alpha_2) $-空間における許容パラメータ領域は有界であるが、原点の周囲に大きな開集合を含んでおり、やや小さい歪度と尖度のモデリングに実用的である。