[論文レビュー] The Alexandrov problem in a quotient space of $\mathbb H^2 imes \mathbb R$

Ana Menezes|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ℝ\times\mathbb{R}$ の商空間におけるコンパクトで埋め込まれた一定平均曲率曲面に対して、アレクサンドロフ型の定理を確立し、このような曲面が回転球面に限ることを証明している。さらに、周期的最小曲面を構成し、多値のラド型定理を証明し、$ℝ\times\mathbb{R}$ 内の螺旋状境界の小さな摂動が一意な最小ディスクをもたらすことを示しており、古典的結果をこの幾何的設定に拡張している。

ABSTRACT

We prove an Alexandrov type theorem for a quotient space of $\mathbb H^2 imes \mathbb R$. More precisely we classify the compact embedded surfaces with constant mean curvature in the quotient of $\mathbb H^2 imes \mathbb R$ by a subgroup of isometries generated by a parabolic translation along horocycles of $\mathbb H^2$ and a vertical translation. Moreover, we construct some examples of periodic minimal surfaces in $\mathbb H^2 imes\mathbb R$ and we prove a multi-valued Rado theorem for small perturbations of the helicoid in $\mathbb H^2 imes\mathbb R$.

研究の動機と目的

• 商空間 $ℝ\times\mathbb{R}/[ψ,T(h)]$ 内のコンパクトで埋め込まれた一定平均曲率曲面を分類すること。この空間は $ℝ^2\times\mathbb{R}$ に微分同相である。
• この単連結でない商空間（一定平均曲率の内在的平坦トーラスを有する）に、アレクサンドロフの反転法を拡張すること。
• $ℝ\times\mathbb{R}$ 内で離散等長変換群に関して不変な、二重周期的最小曲面の明示的例を構成すること。
• ラドの古典的最小グラフの一意性定理を、$ℝ\times\mathbb{R}$ 内の境界が螺旋状曲線の小さな摂動であるような最小ディスクに一般化すること。

提案手法

• 水平的ホロサイクルに沿った平行移動 $ψ$ と垂直方向の平行移動 $T(h)$ を持つ商空間 $ℝ\times\mathbb{R}/[ψ,T(h)]$ に適応されたアレクサンドロフ反転法を用いる。
• 水平測地線に関する等長反射を用いた回転対称性とバリア法により、境界挙動と曲率推定値を制御する。
• 最大原理および境界最大原理を適用し、最小曲面と反転平面の交差における非自明なフォリエーションや特異点が排除されることを示す。
• 収束する一価のジョードン曲線 $Γ_t$ の一意的族を用い、一様な曲率推定値と収束定理を応用して最小曲面を構成する。
• $z$-軸周りの $π$ 回転を用いて最小ディスクをより大きな曲面に拡張し、バリア構成と一意性証明を可能にする。
• 多値グラフおよび漸近的境界の理論を用いて、境界が螺旋状曲線の摂動である最小曲面の極限を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商空間 $ℝ\times\mathbb{R}/[ψ,T(h)]$ 内のコンパクトで埋め込まれた一定平均曲率曲面は、必ず回転球面であるか？
• RQ2 $ℝ\times\mathbb{R}$ 内に、ホロサイクル的移動と垂直移動によって生成される $K^2$-作用に関して不変な周期的最小曲面を構成できるか？
• RQ3 境界が螺旋状曲面の境界の小さな摂動であるような $ℝ\times\mathbb{R}$ 内の最小ディスクに対して、ラド型の一意性定理が成り立つか？
• RQ4 漸近的境界が螺旋状曲面の漸近的境界の小さな摂動である場合、境界付近での最小曲面の挙動はいかなるものか？
• RQ5 曲率推定値と反射対称性は、この単連結でない商空間内の最小曲面の構造をどのように制約するか？

主な発見

• 商空間 $ℝ\times\mathbb{R}/[ψ,T(h)]$ 内のすべてのコンパクトで埋め込まれた一定平均曲率曲面は回転球面に限り、この設定においてアレクサンドロフ型定理が確立される。
• 商空間 $ℝ\times\mathbb{R}/[ψ,T(h)]$ は $ℝ^2\times\mathbb{R}$ に微分同相であり、一定平均曲率 $1/2$ の平坦トーラスによるフォリエーションを有する。このトーラスは幾何学的に内在的である。
• 任意の螺旋状境界の小さな摂動に対して、プレートオ問題を解く一意な最小ディスクはグラフィカルであり安定的である。これはラドの定理をこの設定に拡張したものである。
• 境界が摂動された螺旋状曲線に収束する最小ディスクの列は、漸近的境界が螺旋状曲面の漸近的境界の小さな摂動である完全な最小曲面に収束する。
• $z$-軸周りの $π$ 回転による反射原理により、最小曲面を水平測地線を越えて拡張でき、バリア構成と一意性証明が可能になる。
• 摂動された螺旋状境界に対する一意性の証明は背理法に依拠する。二枚の最小ディスクを貼り合わせると、負のインデックスを持つ特異なフォリエーションを持つ球面が得られ、これは不可能である。