[論文レビュー] The Alexandrov-Toponogov comparison theorem for radial curvature

Nobuhiro Innami, Katsuhiro Shiohama+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2013

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、点付きリーマン多様体 (M,o) における測地線三角形で、頂点が基準点 o に位置する場合に、アレクサンドロフ＝トポノゴフ比較定理の半径曲率版を確立する。参照面（M̃, õ）を導入し、同時に発生するカット点の障害を避ける条件——具体的には、o からの距離関数の局所最大値の参照点が、M̃ における p のカット集合に含まれないようにすること——を課すことにより、M̃ 内の比較三角形が距離不等式を保つことを証明する。主な結果は、比較三角形が d(ô, x̃) ≤ d(o,x) を満たし、角度比較が成り立つことであり、これにより半径曲率が下から有界であるようなアレクサンドロフ空間の定義が可能になる。

ABSTRACT

We discuss the Alexandrov-Toponogov comparison theorem under the conditions of radial curvature of a pointed manifold (M,o) with reference surface of revolution. There are two obstructions to make the comparison theorem for a triangle one of whose vertices is a base point o. One is the cut points of another vertex of a comparison triangle in the reference surface of revolution. The other is the cut points of the base point o in M. We find a condition under which the omparison theorem is valid for any geodesic triangle with a vertex at o in M.

研究の動機と目的

• 点付きリーマン多様体における半径曲率の設定に、アレクサンドロフ＝トポノゴフ比較定理を拡張すること。
• 有効な比較三角形の構成を妨げる二つの障害——参照面におけるカット点と、M 内の距離関数の局所最大値——を特定し、それらを解消すること。
• モデル回転面における比較三角形が距離および角度の不等式を保つための十分条件を確立すること。
• 比較定理を用いて、関数 K によって下から有界な半径曲率を持つ点付きアレクサンドロフ空間のクラスを定義すること。

提案手法

• 各点 q ∈ M に対して、o からの距離に基づき、モデル回転面 M̃ 内の比較点 q̃ を割り当てる写像 Φ: M → M̃ を定義する。
• M̃ に測地的極座標系 (r, θ) を導入し、計量 ds² = dr² + f(r)² dθ² を用いてモデル空間を構成する。
• E(p) を焦点が o と p である楕円面上の d(·, o) の局所最大値の集合とするとき、カット点障害を回避するための条件 Φ(E(p)) ∩ Cut(ṕ) = ∅ を導入する。
• この条件下で、参照曲線 T̃(p,q) = Φ(T(p,q)) が M̃ 内の最小化測地線分 T(ṕ, q̃) と良好な位置関係を保つことを証明する。
• 良好な位置関係を用いて、三角形の底辺上に対応する点 x ∈ T(p,q) と x̃ ∈ T(ṕ, q̃) に対して d(ô, x̃) ≤ d(o,x) が成り立つことを導出する。
• 比較結果を応用し、角度比較を導出し、直径の上限や最大周長定理といった幾何的帰結を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半径曲率を持つ多様体における基準点 o に頂点を持つ測地線三角形に対して、アレクサンドロフ＝トポノゴフ比較定理が成立する条件は何か？
• RQ2 参照面 M̃ におけるカット点と、M 内の距離関数の局所最大値が、比較定理の成立を妨げるメカニズムは何か？
• RQ3 参照曲線 T̃(p,q) が M̃ 内の最小化測地線 T(ṕ, q̃) と常に有利な位置関係を保つための条件は何か？
• RQ4 比較定理を用いて、半径曲率が関数 K によって下から有界であるようなアレクサンドロフ空間のクラスを定義できるか？
• RQ5 比較定理から導かれる幾何的制約として、周長や直径の上限は何か？

主な発見

• すべての測地線三角形 △opq に対して比較定理が成り立つための十分条件は、焦点が o と p である楕円面上の d(·, o) のすべての局所最大値点の参照点が、M̃ における p のカット集合に含まれないことである。
• 条件 Φ(E(p)) ∩ Cut(ṕ) = ∅ の下で、M̃ 内の比較三角形 △ôṕq̃ は、すべての対応する点 x ∈ T(p,q) と x̃ ∈ T(ṕ, q̃) に対して、p からの距離が等しい限り、d(ô, x̃) ≤ d(o,x) を満たす。
• すべてのこのような三角形に対して、角度比較 ∠opq ≥ ∠ôṕq̃、∠oqp ≥ ∠ôq̃p、および ∠poq ≥ ∠pôq̃ が成り立つ。
• M の半径曲率がモデル回転面 M̃ のガウス曲率 K によって下から有界であれば、M は半径曲率が K によって下から有界なアレクサンドロフ空間である。
• 任意の測地線三角形 △opq に対して、その周長は 2ℓ 以下であり、等号が成り立つのは M が定曲率 K の球面に等長である場合に限る。ここで ℓ は M̃ の半径である。
• M の直径が ℓ に等しいとき、M が最大直径に達するのは、半径曲率条件のもとで M が定曲率 K の球面に等長である場合に限る。