[論文レビュー] The algebra of non-deterministic programs: demonic operators, orders and axioms

Robin Hirsch, Szabolcs Mikulás+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2020

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、悪魔的合成と精錬に関して、二項関係代数の有限公理化を確立し、Zareckiの天使的演算に関する研究を拡張する。この研究では、このような代数のクラスが順序付き半群として有限公理化可能であることを証明する一方で、悪魔的および天使的演算を併せ持つ混合シグネチャに関しては、有限公理化不可能であることを示し、代数的構造の複雑さにおける重要な差異を浮き彫りにする。

ABSTRACT

Demonic composition, demonic refinement and demonic union are alternatives to the usual "angelic" composition, angelic refinement (inclusion) and angelic (usual) union defined on binary relations. We first motivate both the angelic and demonic via an analysis of the behaviour of non-deterministic programs, with the angelic associated with partial correctness and demonic with total correctness, both cases emerging from a richer algebraic model of non-deterministic programs incorporating both aspects. Zareckii has shown that the isomorphism class of algebras of binary relations under angelic composition and inclusion is finitely axiomatised as the class of ordered semigroups. The proof can be used to establish that the same axiomatisation applies to binary relations under demonic composition and refinement, and a further modification of the proof can be used to incorporate a zero element representing the empty relation in the angelic case and the full relation in the demonic case. For the signature of angelic composition and union, it is known that no finite axiomatisation exists, and we show the analogous result for demonic composition and demonic union by showing that the same axiomatisation holds for both. We show that the isomorphism class of algebras of binary relations with the "mixed" signature of demonic composition and angelic inclusion has no finite axiomatisation. As a contrast, we show that the isomorphism class of partial algebras of binary relations with the partial operation of constellation product and inclusion (also a "mixed" signature) is finitely axiomatisable.

研究の動機と目的

• Zareckiの天使的演算における順序付き半群の有限公理化を悪魔的設定に拡張すること。
• 悪魔的合成と精錬に関して二項関係の代数の同型類が有限公理化可能かどうかを調査すること。
• 悪魔的および天使的演算を組み合わせた混合シグネチャ（例：悪魔的合成と天使的包含）の表現力と公理化可能性を分析すること。
• 定義域制限付きの部分代数としての定義域積と包含関係に関する有限公理化可能性を検討し、完全関係代数と対比すること。
• 悪魔的および天使的演算を伴う零元（空関係または全関係）を含むさまざまな関係代数の状態を特定すること。

提案手法

• Zareckiの順序付き半群に対するCayley型表現を悪魔的設定に適応させ、部分代数と定義域条件を用いる。
• 悪魔的合成を $ s*t = (s;t) \cap \{ (x,y) : s(x) \subseteq \text{dom}(t) \} $ として定義し、完全な正しさの意味論を保証する。
• 悪魔的精錬 $ s \sqsubseteq t $ を $ \text{dom}(t) \subseteq \text{dom}(s) \land s|_{\text{dom}(t)} \subseteq t $ として定義し、部分順序を形成する。
• 定義域制限付きの定義域積 $ s \cdot t $ を導入し、$ \text{ran}(s) \subseteq \text{dom}(t) $ のときのみ定義される部分演算として、悪魔的合成を一般化する。
• 表現定理を用いて、任意の順序付き前コンステレーションが集合 $ X $ 上の関係代数に埋め込まれ、$ 0 $ が空関係に写されることが示される。
• モデル理論的技法を用いて、$ (*, \subseteq) $ のような混合シグネチャに関して、無限個の準等式族を用いた非有限公理化を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 悪魔的合成と精錬に関して二項関係の代数の同型類は有限公理化可能か？
• RQ2 悪魔的合成と天使的包含（$ *, \subseteq $）を併せ持つ混合シグネチャは、有限公理化可能か？
• RQ3 定義域積と包含関係（$ \cdot, \subseteq $）に関して部分代数の二項関係の代数のクラスは有限公理化可能か？
• RQ4 $ R(*, \sqcup\kern-6.0pt\sqcup, \emptyset) $ と $ T(\mathbin{;}, \cup, \nabla) $ が生成する多様体の関係は何か？ そして、これらは有限公理化可能か？
• RQ5 クラス $ VL_0(\mathbin{;}, \cup, \mathbf{0}) $ は有限公理化可能か？ また、$ VR(\mathbin{;}, \cup, \mathbf{1}') $ と比較するとどうなるか？

主な発見

• 悪魔的合成と精錬に関して二項関係の代数の同型類は、順序付き半群のクラスとして有限公理化可能である。
• 同じ有限公理化は、悪魔的状況下で空関係を表す零元を含む代数に対しても適用可能である。
• 悪魔的合成と天使的包含（$ (*, \subseteq) $）を併せ持つ混合シグネチャは、無限個の準等式族によって示されるように、有限公理化不可能である。
• 定義域積と包含関係（$ \cdot, \subseteq $）に関して部分代数の二項関係の代数のクラスは、順序付き前コンステレーションのクラスとして有限公理化可能である。
• $ R(*, \sqcup\kern-6.0pt\sqcup, \emptyset) $ は $ T(\mathbin{;}, \cup, \nabla) $ に含まれるが、両者の等価性および有限公理化可能性は未解決のままである。
• $ R(\mathbin{;}, \cup, \mathbf{0}) $ のクラスは有限公理化不可能であり、同様に $ R(*, \subseteq) $ のクラスに対しても同様のことが成り立つ。これは、混合シグネチャにおいて天使的および悪魔的演算の間の構造的非対称性を確認する。