[論文レビュー] The algebra of parallel endomorphisms of a germ of pseudo-Riemannian metric

Charles Boubel|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平行な冪零自己準同型 $N$ と $N \notin \mathfrak{s}$ を満たす平行自己準同型の半単純代数 $\mathfrak{s}$ を持つ擬リーマン計量の芽を分類する。一般には、平行自己準同型の代数が $\mathfrak{e} = \mathfrak{s} \oplus (N)$ であることを示し、ここで $(N)$ は $N$ で生成されるイデアルである。また、$\mathbb{R}[X]/(X^n)$ 上の複素微分積分法に類似した変形枠組みを用いて、このような計量のパラメトライゼーションを提供する。

ABSTRACT

On a (pseudo-)Riemannian manifold (M,g), some fields of endomorphisms i.e. sections of End(TM) may be parallel for g. They form an associative algebra A, which is also the commutant of the holonomy group of g. As any associative algebra, A is the sum of its radical and of a semi-simple algebra S. We show in arXiv:1402.6642 that S may be of eight different types, including the generic type S=R.Id, and the Kähler and hyperkähler types where S is respectively isomorphic to the complex field C or to the quaternions H. We show here that for any self adjoint nilpotent element N of the commutant of such an S in End(TM), the set of germs of metrics such that A contains S and {N} is non-empty. We parametrise it. Generically, the holonomy algebra of those metrics is the full commutant of $S\cup\{N\}$ in O(g). Apart from some "degenerate" cases, the algebra A is then $S \oplus (N)$, where (N) is the ideal spanned by N. To prove it, we introduce an analogy with complex Differential Calculus, the ring R[X]/(X^n) replacing the field C. This describes totally the local situation when the radical of A is principal and consists of self adjoint elements. We add a glimpse on the case where this radical is not principal.

研究の動機と目的

• 与えられた半単純代数 $\mathfrak{s}$ と $N \notin \mathfrak{s}$ を満たす自己随伴冪零自己準同型 $N$ を持つ擬リーマン計量の芽を分類すること。
• 特に、平行自己準同型の代数の根基が主イデアルであり、自己随伴冪零自己準同型によって生成される場合に、そのような計量の空間をパラメトライズすること。
• 平行自己準同型の代数 $\mathfrak{e}$ の構造を特定し、一般には $\mathfrak{e} = \mathfrak{s} \oplus (N)$ であることを示し、ホロノミー代数が完全な可換子 $\mathfrak{o}(g)^{\mathfrak{s} \cup \{N\}}$ であることを同定すること。
• 半単純部 $\mathfrak{s}$ を超えて、根基 $\mathfrak{n}$ 内の冪零元の役割を分析することにより、平行自己準同型代数の分類を拡張すること。

提案手法

• 複素微分積分法の類似を用い、$\mathbb{C}$ の代わりに $\mathbb{R}[X]/(X^n)$ を用いて計量の冪零変形をモデル化する。
• Wedderburn–Malçevの定理を適用して、平行自己準同型の代数 $\mathfrak{e}$ を半単純部 $\mathfrak{s}$ と冪零根基 $\mathfrak{n}$ に分解する。
• 変形 $\nu$ を用いた計量の構成：$h = h_0 + \nu h_1$、ここで $h_1$ は $\mathbb{R}[\nu] = \mathbb{R}[X]/(X^2)$ に値をとる $\nu$-ニロモーフィック計量に対応する実計量である。
• $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ への商空間への問題の還元、ここで $\mathcal{I} = \operatorname{Im}N$ であり、この商空間上に誘導される自己準同型 $U$ が $h_0 = g(\cdot, N\cdot)$ に対して平行であることを要求する。
• 適切な座標を用いて $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ 上に、$\ker P_\alpha^{n_\alpha}$ への分解に対応する積座標を導入し、$\deg P_\alpha = 2$ の場合には複素座標も用いる。
• 定理3.3および命題5.2を適用して、$N$ と $N'$ が両方とも平行となる計量を特徴づけ、$U$ が $h_0$ に対して平行であり、$g$ が $G^0$ と $G^1$ を含む特定の行列制約を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの擬リーマン計量の芽が、平行な冪零自己準同型 $N$ と $N \notin \mathfrak{s}$ を満たす平行自己準同型の半単純代数 $\mathfrak{s}$ を持つか？
• RQ2 平行自己準同型の代数 $\mathfrak{e}$ が $\mathfrak{s} \oplus (N)$ に等しくなるのはどのような条件下か、ここで $(N)$ は $N$ で生成されるイデアルである。
• RQ3 このような計量はどのようにパラメトライズ可能か？また、$\mathcal{I} = \operatorname{Im}N$ である商空間 $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ はこの分類において果たす役割は何か？
• RQ4 $N$ と別の自己準同型 $N'$ が両方とも平行である必要がある場合、特に $N'$ が $N$ と可換である場合に、計量 $g$ にどのような制約が生じるか？
• RQ5 特に、非主イデアルまたは非アーベルである場合に、$\mathfrak{e}$ の根基 $\mathfrak{n}$ の構造が、このような計量の分類にどのように影響するか？

主な発見

• 与えられた半単純代数 $\mathfrak{s}$ と $N \notin \mathfrak{s}$ を満たす自己随伴冪零自己準同型 $N$ を持つ擬リーマン計量の芽の集合は空でなく、明示的にパラメトライズ可能である。
• 一般には、平行自己準同型の代数 $\mathfrak{e}$ は $\mathfrak{s} \oplus (N)$ であり、ここで $\mathfrak{s}$ は半単純で $(N)$ は $N$ で生成されるイデアルである。ホロノミー代数は完全な可換子 $\mathfrak{o}(g)^{\mathfrak{s} \cup \{N\}}$ である。
• 計量 $g$ が $N$ と $N'$ の両方を平行にするための必要十分条件は、$g$ が $\nu$-ニロモーフィック計量 $h = h_0 + \nu h_1$ の実部であること、かつ $h_0$ に対して誘導される自己準同型 $U$ が平行であることである。
• 適切な座標 $((x_i, y_i))$ において、計量 $g$ は行列形式 $\begin{pmatrix} 0 & G^0 \\ G^0 & G^1 \end{pmatrix}$ を持ち、ここで $G^0$ は $U$ を平行にする $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ 上の計量であり、$G^1$ は $x_i$ に依存し、$x_i$ に関する $G^1$ の微分に依存する。
• $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ の各因子 $\overline{\mathcal{M}}_k$ 上で、$h_0$ 自身が $\mu$-ニロモーフィック計量に対応する実計量であり、$\deg P_k = 2$ の場合、$h_0$ は誘導された複素構造 $\underline{J}_k$ に関して複素リーマン計量である。
• 複数の可換な冪零自己準同型を含む一般の場合には、商空間 $E_\alpha$ の階層と誘導された自己準同型 $U_\alpha$ が得られ、横断的領域上の計量係数は $N_\alpha$-ニロモーフィック関数の実部でなければならない。