[論文レビュー] The algebra of the parallel endomorphisms of a pseudo-Riemannian metric: semi-simple part

Charles Boubel|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、分解不能な擬リーマン多様体の平行自己準同型の代数の半単純部分を分類し、実半単純代数と対合を用いて8つの可能なタイプ（一般型、ケーラー型、ハイパーケーラー型など）を同定する。各タイプを実現する計量の局所的構造をパラメータ化し、平行自己準同型がリッチ曲率に課す制約を導出し、特にノルム的または反交換する歪自己随伴自己準同型が、特定の状況でリッチ平坦性を強制することを示す。

ABSTRACT

On a (pseudo-)Riemannian manifold (MM,g), some fields of endomorphisms i.e. sections of End(TMM) may be parallel for g. They form an associative algebra A, which is also the commutant of the holonomy group of g. As any associative algebra, A is the sum of its radical and of a semi-simple algebra S. Here we study S: it may be of eight different types, including the generic type S=R.Id, and the K\"ahler and hyperk\"ahler types 'S isomorphic to C' and 'S isomorphic to the quaternions'. This is a result on real, semi-simple algebras with involution. For each type, the corresponding set of germs of metrics is non-empty; we parametrise it. We give the constraints imposed to the Ricci curvature by parallel endomorphism fields

研究の動機と目的

• 分解不能な擬リーマン計量における平行自己準同型の代数の半単純部分を分類すること。
• ホロノミー群の中心化子の半単純部分として現れる可能性がある実半単純代数と対合の型を特定すること。
• 各可能な半単純型を実現する計量の局所的構造の集合をパラメータ化すること。
• 平行自己準同型場の存在がリッチ曲率に課す制約を導出すること。
• リーマン幾何における結果を、ホロノミーが非可約でない場合を含むより一般的な擬リーマン設定へと拡張すること。

提案手法

• 平行自己準同型の代数を半単純部と冪零部に分解し、特に半単純部 s に注目する。
• 実半単純代数と対合の分類理論を適用し、R·Id、C、H などを含む8種類の異なる s の型を同定する。
• カルタン＝カーラー理論とジャンプ空間の技法を用いて、各代数的型を実現する計量の局所的構造をパラメータ化する。
• ホロノミー表現とその End(T_mM) 内での中心化子を用いて、平行自己準同型の構造を分析する。
• ビアンキ恒等式と可換な自己準同型のトレース性質を用いて、曲率の制約を導出する。
• トレース恒等式と可換関係を用いて、平行自己準同型が曲率作用素やリッチ形式に与える作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解不能な擬リーマン計量に対して、平行自己準同型の代数の半単純部分として現れる実半単純代数と対合の型はどれか？
• RQ2 各々の代数に対して、それに対応する擬リーマン計量の局所的構造はどのようにパラメータ化できるか？
• RQ3 平行自己準同型の存在が計量のリッチ曲率に与える制約は何か？
• RQ4 計量の符号型が、平行自己準同型の半単純代数の可能な型を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 反交換する歪自己随伴自己準同型が存在する場合、どのような状況でリッチ平坦性が導かれるか？

主な発見

• 平行自己準同型の代数の半単純部 s は、8種類の異なる型を取り得る。その例として、一般型 s = R·Id、ケーラー型 s ≃ C、ハイパーケーラー型 s ≃ H が含まれる。
• 非リーマン型のうち5つの型では、計量は必然的に中性符号型 (d/2, d/2) を持ち、s には TM = ker(N−Id) ⊕ ker(N+Id) を満たすパラケーラー構造 N が含まれる。
• 8種類の型の各々に対して、それらの型を実現する計量の局所的構造の集合は空でなく、カルタン＝カーラー理論または直接的構成により明示的にパラメータ化可能である。
• 平行自己準同型 U が冪零的かつ歪自己随伴的である場合、その像はリッチ曲率の核に含まれる：Im U ⊂ ker ric。
• 2つの歪自己随伴的で可逆な平行自己準同型 U と V が反交換する場合、リッチ曲率は消える：ric = 0。
• 定理1.10のケース (3)、(3’)、(3C) — それぞれホロノミー Sp(p,q)、Sp(2δ,R)、Sp(2δ,C) に対応する — は、曲率恒等式におけるトレースの消滅により、すべてリッチ平坦であることが示されている。