[論文レビュー] The algebraic formalism of soliton equations over arbitrary base fields

A. Álvarez Vázquez, José M. Muñoz Porras+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、任意の基本体上でのソリトン方程式の代数的形式的体系を構築し、関手的およびスキーム論的メソッドを用いて、無限次元のグラスマンニアンと行列式バンドルを一般化する。形式的局所曲線の微分幾何学を用いて、任意の体—正標数やグローバル体を含む—上で$τ$-関数とベイカー関数を構成し、複素数体や$p$-進体の設定を超えて古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to offer an algebraic construction of infinite-dimensional Grassmannians and determinant bundles (and therefore valid for arbitrary base fields). As an application we construct the $τ$-function and formal Baker-Akhiezer functions over arbitrary fields, by proving the existence of a ``formal geometry'' of local curves analogous to the geometry of global algebraic curves. We begin by defining the functor of points, $\fu{\gr}(V,V^+)$, of the Grassmannian of a $k$-vector space $V$ in such a way that its rational points are precisely the points of the Grassmannian defined by Segal-Wilson, although the points over an arbitrary $k$-scheme $S$ have been not previously considered. This definition of the functor $\fu{\gr}(V,V^+)$ allows us to prove that it is representable by a separated $k$-scheme $\gr(V,V^+)$. Using the theory of determinants of Knudsen and Mumford, the determinant bundle is constructed. This is one of the main results of the paper because it implies that we can define ``infinite determinants'' in a completely algebraic way.

研究の動機と目的

• 複素数体や$p$-進体に制限されない任意の基本体上での、無限次元グラスマンニアンと行列式バンドルの完全な代数的構成を提供すること。
• 正標数やグローバル数体を含む任意の体上での$τ$-関数およびベイカー＝アヒエツェル関数の理論を一般化すること。
• グローバル代数曲線に類似する局所曲線の形式的幾何的枠組みを確立し、ソリトン解の代数的構成を可能にすること。
• 解析的群作用（例：$\Gamma = C^\infty(S^1, \mathbb{C}^*)$）を、係数に冪零元を含む形式的ローラン級数を用いた代数的群スキームに置き換えること。
• 整数環スキームやグローバル体上で作業することにより、ドリンフェルトモジュライ空間や再帰性法則といった算術的応用の基盤を築くこと。

提案手法

• 各$k$-スキーム$S$に対して、$V \otimes_k \mathcal{O}_S$の部分加群のうち、$V^+ \otimes_k \mathcal{O}_S$と共通部分をもつものの集合を割り当てる、点関手$\underline{\operatorname{Gr}}(V,V^+)$としてグラスマンニアン$\operatorname{Gr}(V,V^+)$を定義する。
• この関手が、分離された$k$-スキーム$\operatorname{Gr}(V,V^+)$によって代表可能であることを証明し、普遍部分バンドル$\mathcal{L}_V \subset \pi^*V$を構成する。
• クヌーデンソン＝マウンド理論を用いて、$\operatorname{Gr}(V,V^+}$上の行列式バンドル$\det(\mathcal{L}_V)$を構成し、任意の基本体上での無限行列式の代数的定義を可能にする。
• 自己同型群$\Gamma$を、$S \mapsto H^0(S, \mathcal{O}_S)((z))^*$として定義し、$f = \sum_{i \geq -N} \lambda_i z^i$（ただし$\lambda_{-1}, \dots, \lambda_{-N}$は$\mathcal{O}_S$内で冪零）を要素とする。
• 群$\Gamma$のグラスマンニアン上への作用を用いて、双対行列式バンドルの切断として$τ$-関数を構成し、普遍切断$\tau_U$を用いる。
• ベイカー関数$\psi_U = v^{-1} \cdot \beta_U^*(\tau_U)$を定義する。ここで$v$は$k((z)) \hat{\otimes} k\{\{x_i\}\}$内に存在する普遍的可逆元であり、$\beta_U^*$は$\Gamma \times \{U\}$から$\widehat{C} \times \Gamma \times \{U\}$への切断の引き戻しを表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ソリトン方程式における$τ$-関数およびベイカー関数の理論は、正標数やグローバル体を含む任意の基本体へ一般化可能か？
• RQ2 $S^1 \to \mathbb{C}^*$の連続写像からなる群$\Gamma$は、任意の体上で代数的にどのように置き換え可能か？
• RQ3 一般の基底スキーム上でのグラスマンニアンおよびその行列式バンドルの代数的幾何的構造は何か？ そして、それがソリトン理論をどのように支えるか？
• RQ4 形式的局所曲線（例：$\widehat{\operatorname{Spf}} k[[z]]$）は、ソリトン方程式の文脈において、グローバル代数曲線の代数的類似として機能可能か？
• RQ5 これらの構成は、$\mathbb{Z}((z))$やドリンフェルトモジュライ空間といった算術的設定へどのように拡張可能か？ また、どのような算術的性質が生じるか？

主な発見

• グラスマンニアン$\operatorname{Gr}(V,V^+)$は、分離された$k$-スキームとして代表可能であり、普遍部分バンドル$\mathcal{L}_V \subset \pi^*V$を有する。これは、セガル＝ウィルソンの構成を任意の体へ一般化する。
• 行列式バンドルはクヌーデンソン＝マウンド理論を用いて代数的に構成され、任意の基本体上での無限行列式の定義を可能にする。
• $τ$-関数は双対行列式バンドルの全体切断として定義され、形式的群作用において明示的表現$\tau_U(g) = \frac{\tau_U(g \cdot \phi_1)}{\tau_U(g)}$を有する。
• ベイカー関数$\psi_U = v^{-1} \cdot \beta_U^*(\tau_U)$は、$\widehat{C} \times \Gamma \times \{U\}$上の可逆層の切断として構成され、$v$は$k((z)) \hat{\otimes} k\{\{x_i\}\}$内に存在する普遍的可逆元である。
• 標数0の場合、指数写像を用いて、古典的表現$\psi_U(z,t) = \left(\frac{\tau_U(t+[z])}{\tau_U(t)}\right) \exp(-\sum t_i z^{-i})$が回復される。
• 形式的体系は$\mathbb{Z}((z))$へ拡張可能であり、$\operatorname{Gr}(\mathbb{Z}((z)))$の有理点に対する$τ$-関数およびベイカー関数の定義が可能となり、算術的解釈が得られる。