[論文レビュー] The algebraisation of higher Deligne--Lusztig representations

Zhe Chen, Alexander Stasinski|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ r = 2l $ が偶数の場合、有限環 $ \mathcal{O}_r $ 上の再帰的群の高次デリーニュ–ルスティッグ表現が、特定の代数的部分群からの誘導表現と一致することを確立し、ルスティッグが提起した長年の問題を解決する。主な結果は、同型 $ R_T^\theta \cong \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $ であり、これらの表現の次元が $ |G_l^F| / |T_l^F| $ に等しいことを示し、$ \mathrm{GL}_2 $ および $ \mathrm{GL}_3 $ についてレテリエの予想を検証する。

ABSTRACT

In this paper we study higher Deligne--Lusztig representations of reductive groups over finite quotients of discrete valuation rings. At even levels, we show that these geometrically constructed representations coincide with certain induced representations in the generic case; this gives a solution to a problem raised by Lusztig. In particular, we determine the dimensions of these representations. As an immediate application we verify a conjecture of Letellier for $\mathrm{GL}_2$ and $\mathrm{GL}_3$.

研究の動機と目的

• ルスティッグが提起した、有限環 $ \mathcal{O}_r $ 上で幾何的に構成された高次デリーニュ–ルスティッグ表現と代数的に構成された誘導表現の同値性に関する問題に取り組む。
• 偶数 $ r = 2l $ の場合、高次デリーニュ–ルスティッグ表現 $ R_T^\theta $ が誘導表現 $ \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $ に同型であることを確立する。ここで $ \widetilde{\theta} $ は $ \theta $ の自明な拡張である。
• これらの表現の次元の公式を提供する：$ \dim R_T^\theta = |G_l^F| / |T_l^F| $。これは一般性と偶数レベルの条件のもとで成立する。
• レテリエが提起した、有限リー代数 $ \mathfrak{g}^F $ のすべての既約不変特徴標が高次デリーニュ–ルスティッグ特徴標に現れることに関する予想を、$ \mathrm{GL}_2 $ および $ \mathrm{GL}_3 $ について検証する。
• $ \mathrm{GL}_n $ の場合の技法を一般化し、ラングの前像とフロベニウスの随伴性を用いて、コホモロジー的表現における内積恒等式を確立する。

提案手法

• [Che] で提示された構成を高次レベルに一般化し、特定の代数的群のラング前像のコホモロジーとして誘導表現 $ \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $ を実現する。
• グリーンベルク関手 $ \mathcal{F} $ を用いて、$ \mathcal{O}_r^{\mathrm{ur}} $ 上のスキームを $ \overline{\mathbb{F}}_q $ 上の代数的群に関連づけ、幾何的データを代数的群構造に移す。
• フロベニウスの随伴性とマッキーの相互作用公式を用いて、表現間の内積を計算し、$ R_T^\theta $ と誘導表現の内積が 1 に等しいことを示す。
• $ r = 2l $ のとき $ G^l $ がアーベル群であることを利用し、$ T^F $ 上の特徴標 $ \theta $ を $ (TG^l)^F $ に自明に拡張できるようにする。これは代数的構成にとって不可欠である。
• 局所体の最大無分岐拡大の設定で作業し、$ \mathcal{O}_r^{\mathrm{ur}} $ 及びその残留体 $ k = \overline{\mathbb{F}}_q $ を用いて、群スキーム $ \mathbb{G} $ のベースチェンジを $ G $ に定義する。
• 高次デリーニュ–ルスティッグ特徴標を $ (G^1)^F \cong \mathfrak{g}^F $ に制限し、有限リー代数における不変量を研究することで、レテリエの予想に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ r = 2l $ が偶数であるとき、幾何的に構成された高次デリーニュ–ルスティッグ表現 $ R_T^\theta $ は、代数的に構成された誘導表現 $ \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $ と一致するか？
• RQ2 一般性と偶数レベルの条件下で、$ R_T^\theta $ の次元を明示的に計算できるか。また、$ |G_l^F| / |T_l^F| $ に等しいか？
• RQ3 有限リー代数 $ \mathfrak{g}^F $ のすべての既約不変特徴標が、ある高次デリーニュ–ルスティッグ特徴標に現れるという、レテリエの予想は正しいか？
• RQ4 マッキーの公式のもとで、幾何的および代数的構成の同型は安定的か。また、$ \theta $ が一般でない場合には失敗するか？
• RQ5 フロベニウスの随伴性とラング前像の技法を用いて、$ R_T^\theta $ と誘導表現のコホモロジー的内積が 1 に等しいことを示せるか？

主な発見

• 偶数レベル $ r = 2l $ の場合、高次デリーニュ–ルスティッグ表現 $ R_T^\theta $ は、$ \theta $ を $ (TG^l)^F $ に自明に拡張した $ \widetilde{\theta} $ からの誘導表現 $ \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $ に同型である。これはルスティッグが提起した問題を解決する。
• $ R_T^\theta $ の次元は正確に $ |G_l^F| / |T_l^F| $ に等しく、一般の場合におけるこれらの表現のサイズを明確に定める公式を提供する。
• $ \theta $ が一般でない場合、同型は成立しない。これはルスティッグの研究における反例によって示され、一般性仮定の必要性を示している。
• レテリエが提起した、$ \mathfrak{g}^F $ のすべての既約不変特徴標が高次デリーニュ–ルスティッグ特徴標に現れることに関する予想は、$ \mathrm{GL}_2 $ および $ \mathrm{GL}_3 $ について検証された。これは、従来の結果の $ |\mathbb{F}_q| > 3 $ の条件を拡張する。
• マッキーの相互作用公式とフロベニウスの随伴性を用いて、$ (G^1)^F $ のすべての既約特徴標が、ある $ R_{\mathfrak{t},\mathfrak{u}}^{\theta^1} $ に現れることを示した。これにより、指定された群について予想が確認された。
• ラング前像による誘導表現の明示的コホモロジー的実現が確立され、代数的および幾何的構成の間の幾何的ブリッジを提供する。