[論文レビュー] The almost mobility edge in the almost Mathieu equation

Yi Zhang, Daniel Bulmash+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2015

Quantum and electron transport phenomena被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ Q \ll 2\pi $ の小規模な非共通波数を有するほぼマシュー方程式において、$ V < 2t $ の場合、バンド端付近の状態は真に拡散的ではなく、巨大な有効質量を有する指数的になびらなバンドを形成し、磁気的ブレイクダウン効果により「ほぼ局在化」した状態として振る舞うことを明らかにする。これらの状態は原理的には強く拡散的であるが、物理的摂動の下では有効的に局在化し、$ E_c = 2t - V $ に有効な移動度端が生じる。これにより、長年の局在化・拡散化遷移に関するパラドックスが解消される。

ABSTRACT

Harper's equation (aka the "almost Mathieu" equation) famously describes the quantum dynamics of an electron on a one dimensional lattice in the presence of an incommensurate potential with magnitude $V$ and wave number $Q$. It has been proven that all states are delocalized if $V$ is less than a critical value $V_c=2t$ and localized if $V&gt; V_c$. Here, we show that this result (while correct) is highly misleading, at least in the small $Q$ limit. In particular, for $VE_c$, form a set of narrow bands with exponentially small bandwidths $ \sim t\ \exp[-(2πα/Q)]$ (where $α$ is an energy dependent number of order 1) separated by band-gaps $ \sim t Q$. Thus, the states with $|E|&gt; E_c$ are "almost localized" in that they have an exponentially large effective mass and are easily localized by small perturbations. We establish this both using exact numerical solution of the problem, and by exploiting the well known fact that the same eigenvalue problem arises in the Hofstadter problem of an electron moving on a 2D lattice in the presence of a magnetic field, $B=Q/2π$. From the 2D perspective, the almost localized states are simply the Landau levels associated with semiclassical precession around closed contours of constant quasiparticle energy; that they are not truly localized reflects an extremely subtle form of magnetic breakdown.

研究の動機と目的

• 定理ではすべての状態が拡散的であるのに対し、数値的計算ではバンド端付近で局在的と似た振る舞いを示すという、顕著な矛盾を解消すること。
• 小規模な $ Q $ における $ |E| > E_c $ の状態の物理的性質を明確にし、それらが真に局在化しているのではなく、指数的になびらなバンドに起因する「ほぼ局在化」状態であることを示すこと。
• $ V < 2t $ の場合に $ E_c = 2t - V $ に有効な移動度端が存在することを、数値的および2次元ホフスタッター模型の両観点から確立すること。
• 半古典的解析が計算可能な磁気的ブレイクダウン効果により破綻することを示し、巨大な有効質量を有する狭帯域の出現を説明すること。
• ほぼマシュー方程式の自己双対性と、有限分解能の実験における物理的観測可能性を調和させること。

提案手法

• 高精度な数値的対角化によりハーパー方程式のハミルトニアンを解き、固有状態の局在性を特定する。
• 1次元のハーパー方程式を磁束密度 $ B = Q/2\pi $ の2次元ホフスタッター問題に写像し、ランダウ準位の物理学による解析を可能にする。
• ホフスタッター模型に半古典的解析を適用し、準粒子エネルギーが一定である閉じた輪郭（ランダウ準位に対応）を特定する。
• ほぼマシュー方程式の自己双対性を用いて、弱いポテンシャル（$ V < 2t $）と強いポテンシャル（$ V > 2t $）の領域を関連付ける。
• バンド幅スケーリングから、ほぼ局在化状態の有効質量を $ m^* \sim t^{-1} \exp[(2\alpha\pi/Q)] $（$ \alpha \sim \mathcal{O}(1) $）として導出する。
• ギャップおよび局在化長の摂動的構造を分析し、それらが有限分解能において観測不能なほど指数的に小さくなることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定理では $ V < 2t $ ですべての状態が拡散的であるのに対し、なぜ数値的計算では局在的と似た振る舞いが観測されるのか？
• RQ2 小規模な $ Q $ における $ E_c = 2t - V $ に見られる「見かけの移動度端」の物理的起源は何か？
• RQ3 原理的には拡散的であるはずの $ |E| > E_c $ の状態が、なぜ物理的摂動の下では局在的と振る舞うのか？
• RQ4 磁気的ブレイクダウンは、バンド端付近の状態の微細な拡散性にどのように寄与しているのか？
• RQ5 2次元ホフスタッター模型の視点から、指数的になびらなバンドがどのようにして出現するのかを説明できるか？

主な発見

• $ V < 2t $ および $ Q \ll 2\pi $ の場合、$ |E| > E_c = 2t - V $ の状態は、バンド幅が $ \sim t \exp[-(2\pi\alpha/Q)] $（$ \alpha \sim \mathcal{O}(1) $）となる指数的になびらなバンドを形成する。
• これらの状態は有効質量 $ m^* \sim t^{-1} \exp[(2\alpha\pi/Q)] $ を有し、微小な摂動によっても容易に局在化されやすくなる。
• これらの状態は真に局在化しているのではなく、2次元ホフスタッター像における微妙な磁気的ブレイクダウンに起因する「ほぼ局在化」状態である。
• 見かけの移動度端 $ E_c = 2t - V $ は、有限エネルギー分解能および系サイズに起因する有効な物理現象であり、真の移動度端ではない。
• $ V < 2t $ と $ V > 2t $ の領域間の双対性は、$ V > 2t $ の場合に $ E_c = V - 2t $ でクロスオーバーが生じ、実空間のフェルミ面の出現に関連している。
• 系における断続的ポンピングは、$ n $ 個のランダウ準位が満たされた場合に1ユニットセルあたり $ n $ 個の電子を輸送する。これにより、モデルが量子ホール効果およびウェイル半金属と結びつく。