[論文レビュー] The almost sure invariance principle for unbounded functions of expanding maps

Jérôme Dedecker, Sébastien Gouëzel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、BV空間におけるスペクトルギャップを有する一様に拡大する写像およびゼロに中立的固定点を有する写像の2つのクラスについて、弱い正則性条件の下で、$L^2$-ノルムにおける非有界観測量に対して、誤差率 $o(\sqrt{n\ln\ln n})$ のほとんど確実な不変性原理を確立する。近似技術と最大不等式を組み合わせることで、従来の方法が有界性のない場合に失敗する、臨界的な $L^2$ 境界ケースにまで不変性原理を拡張する。

ABSTRACT

We consider two classes of piecewise expanding maps $T$ of $[0,1]$: a class of uniformly expanding maps for which the Perron-Frobenius operator has a spectral gap in the space of bounded variation functions, and a class of expanding maps with a neutral fixed point at zero. In both cases, we give a large class of unbounded functions $f$ for which the partial sums of $f\\circ T^i$ satisfy an almost sure invariance principle. This class contains piecewise monotonic functions (with a finite number of branches) such that: - For uniformly expanding maps, they are square integrable with respect to the absolutely continuous invariant probability measure. - For maps having a neutral fixed point at zero, they satisfy an (optimal) tail condition with respect to the absolutely continuous invariant probability measure.

研究の動機と目的

• 一様に拡大する写像における $L^2$-境界ケースの非有界関数に対するほとんど確実な不変性原理を確立すること。
• 観測量が平方可積分である場合に、誤差率 $o(\sqrt{n\ln\ln n})$ で不変性原理が成り立つかどうかという未解決問題を解消すること。
• 従来の $L^p$-可積分観測量（$p>2$）に対する強い不変性原理の結果を、臨界的 $L^2$-ケースにまで拡張すること。
• 良好な関数から $L^2$-境界ケースへ結果を移す一般的手法（近似と最大不等式）を提供すること。

提案手法

• より良い可積分性を有する有界かつ区分的単調関数の列 $\bar{f}_m$ で $L^2$-観測量 $f$ を近似する。
• Merlevède と Rio (2012) が $L^p$-可積分性（$p>2$）の下で確立した $\bar{f}_m$ に対するほとんど確実な不変性原理を用いる。
• 最大不等式とカップリングの議論を用いて、部分和過程における $f$ と $\bar{f}_m$ の差を制御する。
• 剰余項 $g_m = f - \bar{f}_m$ に対する有界iterated対数法則（BLIL）を活用し、不変性原理における誤差を制御する。
• 有界 variation 空間におけるスペクトルギャップ推定を用いて、$g \in \text{Mon}^c_2(M,\nu)$ に対して $\|K^n(g) - \nu(g)\|_{L^2}$ の減衰を制御する。
• $\sigma^2(g_m) \to 0$ を示すことにより、$\sigma_m^2 \to \sigma^2$ の収束を確立する。この際、$\phi_{1,\mathbf{Y}}(n)$ の指数的減衰を利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BV空間におけるスペクトルギャップを有する一様に拡大する写像上で、$L^2$-観測量に対して誤差率 $o(\sqrt{n\ln\ln n})$ のほとんど確実な不変性原理が成立するか。
• RQ2 ゼロに中立的固定点を有する写像上で、$L^2$-観測量に対して、不変測度に関する最適な尾条件を満たす場合に、ほとんど確実な不変性原理が成り立つか。
• RQ3 一様可積分性が成り立たない場合に、近似と最大不等式技術を用いて $L^2$-境界ケースを扱うことができるか。
• RQ4 有界iterated対数法則は、近似関数から元の $L^2$-観測量への不変性原理の移行に十分か。
• RQ5 極限ブラウン運動の分散が、近似過程の分散の極限として回復可能か。

主な発見

• 一様に拡大する写像（BV空間におけるスペクトルギャップを有する）上で、すべての $f \in L^2(\nu)$ に対して、誤差率 $o(\sqrt{n\ln\ln n})$ のほとんど確実な不変性原理が成立する。
• ゼロに中立的固定点を有する写像上で、不変測度に関して最適な尾条件を満たすすべての $f \in L^2(\nu)$ に対して、不変性原理が成立する。
• 一様に拡大する写像上での $L^2$-観測量に対する有界iterated対数法則が確立され、これが証明の主要な要素である。
• 極限ブラウン運動の分散は、近似過程の分散の $L^2$-極限として得られ、分散列の収束は $\phi_{1,\mathbf{Y}}(n)$ の指数的減衰によって保証される。
• 近似と最大不等式を用いることで、良好な関数のクラスから $L^2$-境界ケース全体へ不変性原理を成功裏に移す手法が得られた。
• 証明は、Perron-Frobenius作用素のスペクトルギャップおよび $\phi$-混合係数の指数的減衰に依存しており、$L^2$ 内でGordin型級数の収束を保証する。